Contrôle de l'équation des plaques en présence d'obstacles strictement convexes
Formules de trace, résonances et quasi-modes
Mesures semi-classiques et mesures de défaut
Explosion pour l’équation de Schrödinger au régime du “log log”
On présente dans cet exposé des résultats récents de Merle et Raphael sur l’analyse des solutions explosives de l’équation de Schrödinger critique. On s’intéresse en particulier à leur preuve du fait que les solutions d’énergie négative (dont on savait qu’elles explosaient par l’argument du viriel) et dont la norme est proche de celle de l’état fondamental, explosent au régime du “log log”et que ce comportement est stable.
Contrôle de l'équation de Schrödinger en présence d'obstacles strictement convexes
Vitesse de convergence vers le réel des résonances
Existence globale pour l’équation des ondes semi linéaire -critique dans des domaines de dimension
On démontre que l’équation des ondes défocalisante quintique avec des conditions aux limites de Dirichlet est globalement bien posée sur tout domaine régulier et borné . La démonstration repose sur des estimations pour le projecteur spectral obtenues récemment par Smith et Sogge [12], combinées avec une étude précise du problème aux limites. Ce travail a été obtenu en collaboration avec G. Lebeau. et F. Planchon
absence de résonance près du réel pour l’opérateur de Schrödinger
On donne dans cet exposé des bornes inférieures universelles, en limite semiclassique, de la hauteur des résonances de forme associées aux opérateurs de Schrödinger à l’extérieur d’obstacles avec des conditions au bord de Dirichlet ou de Neumann et des potentiels analytiquement dilatables et tendant vers à l’infini. Ces bornes inférieures sont exponentiellement petites par rapport à la constante de Planck.
Estimations de Strichartz pour des perturbations à longue portée de l’opérateur de Schrodinger
On présente dans cet exposé une approche semi-classique déduite des résultats de N. Burq, P. Gérard et N. Tzvetkov [] permettant de démontrer des inégalités de Strichartz pour un problème non captif. On retrouve ainsi des résultats de G. Staffilani et D. Tataru [] (obtenus pour une perturbation de la métrique à support compact). On donne aussi des généralisations de ces résultats au cas d’une perturbation à longue portée
Mesures de défaut de compacité, application au système de Lamé
Injections de Sobolev probabilistes et applications
On démontre dans cet article des versions probabilistes des injections de Sobolev sur une variété riemannienne compacte, . Plus précisément on démontre que pour des mesures de probabilité naturelles sur l’espace , presque toute fonction appartient à tous les espaces , . On donne ensuite des applications à l’étude des harmoniques sphériques sur la sphère : on démontre (encore pour des mesures de probabilité naturelles) que presque toute base hilbertienne de formée d’harmoniques sphériques...
Control theory and high energy eigenfunctions
Probabilistic well-posedness for the cubic wave equation
The purpose of this article is to introduce for dispersive partial differential equations with random initial data, the notion of well-posedness (in the Hadamard-probabilistic sense). We restrict the study to one of the simplest examples of such equations: the periodic cubic semi-linear wave equation. Our contributions in this work are twofold: first we break the algebraic rigidity involved in our previous works and allow much more general randomizations (general infinite product measures v.s. Gibbs...
The Schrödinger equation on a compact manifold : Strichartz estimates and applications
We prove Strichartz estimates with fractional loss of derivatives for the Schrödinger equation on any riemannian compact manifold. As a consequence we infer global existence results for the Cauchy problem of nonlinear Schrödinger equations on surfaces in the case of defocusing polynomial nonlinearities, and on three-manifolds in the case of quadratic nonlinearities. We also discuss the optimality of these Strichartz estimates on spheres.
Contrôle de l'équation des ondes dans des ouverts comportant des coins
Multilinear eigenfunction estimates and global existence for the three dimensional nonlinear Schrödinger equations
Strichartz estimates for water waves
In this paper we investigate the dispersive properties of the solutions of the two dimensional water-waves system with surface tension. First we prove Strichartz type estimates with loss of derivatives at the same low level of regularity we were able to construct the solutions in [3]. On the other hand, for smoother initial data, we prove that the solutions enjoy the optimal Strichartz estimates (i.e, without loss of regularity compared to the system linearized at ()).
Long time dynamics for the one dimensional non linear Schrödinger equation
In this article, we first present the construction of Gibbs measures associated to nonlinear Schrödinger equations with harmonic potential. Then we show that the corresponding Cauchy problem is globally well-posed for rough initial conditions in a statistical set (the support of the measures). Finally, we prove that the Gibbs measures are indeed invariant by the flow of the equation. As a byproduct of our analysis, we give a global well-posedness and scattering result for the critical and super-critical...
Estimées multilinéaires de projecteurs spectraux et équations de Schrodinger non linéaires
On étudie l’équation de Schrödinger non linéaire sur les variétés de dimension . On démontre l’existence globale dans pour les non linéarités sous-quintiques. Un élément essentiel de la preuve est une estimation multilinéaire du produit de plusieurs fonctions propres du laplacien sur une variété compacte.
Inégalités de Sogge bilinéaires et équation de Schrödinger non linéaire
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