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Perte de régularité pour les équations d’ondes sur-critiques

Gilles Lebeau — 2005

Bulletin de la Société Mathématique de France

On prouve que le problème de Cauchy local pour l’équation d’onde sur-critique dans d , u + u p = 0 , p impair, avec d 3 et p > ( d + 2 ) / ( d - 2 ) , est mal posé dans H σ pour tout σ ] 1 , σ crit [ , où σ crit = d / 2 - 2 / ( p - 1 ) est l’exposant critique.

Régularité du problème de Kelvin–Helmholtz pour l’équation d’Euler 2D

Gilles Lebeau — 2002

ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations

Nous prouvons que pour toute solution u du problème de Kelvin–Helmholtz des nappes de tourbillons pour l’équation d’Euler bi-dimensionnelle, définie localement en temps, la courbe de saut de u et la densité de tourbillon sont analytiques (sous une hypothèse de régularité Holderienne de la courbe de saut). Nous donnons également un résultat de régularité partielle de la trace de u sur t = 0 lorsque u est définie sur un demi-interval [ O , T [ .

Equations de Fokker-Planck géométriques II : estimations hypoelliptiques maximales

Gilles Lebeau — 2007

Annales de l’institut Fourier

Nous donnons des résultats analytiques sur les propriétés de régularité du laplacien hypoelliptique de Jean-Michel Bismut et plus généralement sur les opérateurs P de type Fokker-Planck géométrique agissant sur le fibré cotangent Σ = T * X d’une variété riemannienne compacte X . En particulier, nous prouvons un résultat d’hypoellipticité maximale pour P , et nous en déduisons des bornes sur la localisation de ses valeurs spectrales.

Le Bismutien

Gilles Lebeau

Séminaire Équations aux dérivées partielles

Dans une série de travaux récents, Jean-Michel Bismut a construit un “laplacien hypoelliptique” agissant sur les formes différentielles sur le fibré cotangent Σ = T * X d’une variété riemannienne X . Dans cet exposé, nous présentons quelques propriétés analytiques de ce nouvel opérateur et explicitons le fait qu’il définit une déformation du laplacien de Hodge sur X .

Deuxième microlocalisation sur les sous-variétés isotropes

Gilles Lebeau — 1985

Annales de l'institut Fourier

Dans cet article, on définit le deuxième micro-support d’une distribution, le long d’une sous-variété isotrope Γ de T * R n ; c’est un fermé d’un fibré Γ ˜ sur Γ , qui est canoniquement muni d’une structure symplectique, et qui contient le fibré cotangent à Γ . On montre l’analogue du théorème du Water melon, et on applique les résultats obtenus à l’étude de la propagation des singularités des solutions, définies sur un ouvert Ω , d’un opérateur de type principal réel P , près d’une bicaractéristique de P contenue...

Régularité du problème de Kelvin–Helmholtz pour l'équation d'Euler 2d

Gilles Lebeau — 2010

ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations

Nous prouvons que pour toute solution du problème de Kelvin–Helmholtz des nappes de tourbillons pour l'équation d'Euler bi-dimensionnelle, définie localement en temps, la courbe de saut de et la densité de tourbillon sont analytiques (sous une hypothèse de régularité Holderienne de la courbe de saut). Nous donnons également un résultat de régularité partielle de la trace de sur lorsque est définie sur un demi-interval .

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