Compactification de variétés de Siegel aux places de mauvaise réduction

Benoît Stroh

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Le théorème de Bertini en famille

Olivier Benoist (2011)

Bulletin de la Société Mathématique de France

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On majore la dimension de l’ensemble des hypersurfaces de $ℙ^{N}$ dont l’intersection avec une variété projective intègre fixée n’est pas intègre. Les majorations obtenues sont optimales. Comme application, on construit, quand c’est possible, des hypersurfaces dont les intersections avec toutes les variétés d’une famille de variétés projectives intègres sont intègres. Le degré des hypersurfaces construites est explicite.

Variétés horosphériques de Fano

Boris Pasquier (2008)

Bulletin de la Société Mathématique de France

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Une variété horosphérique est une variété algébrique normale dans laquelle un groupe algébrique réductif opère avec une orbite ouverte fibrée en tores sur une variété de drapeaux. En particulier, les variétés toriques et les variétés de drapeaux sont horosphériques. Dans cet article, on classifie les variétés horosphériques de Fano en termes de certains polytopes rationnels qui généralisent les polytopes réflexifs considérés par V. Batyrev. Puis on obtient une majoration du degré des...

Classe de conjugaison du frobenius des variétés abéliennes à réduction ordinaire

Rutger Noot (1995)

Annales de l'institut Fourier

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Soient $X$ une variété abélienne sur un corps de nombres $E$ et $G$ son groupe de Mumford–Tate. Soit $v$ une valuation de $E$ et pour tout nombre premier $ℓ$ tel que $v (ℓ) = 0$ , soit $F_{ℓ} \in G (Q_{ℓ})$ l’automorphisme de Frobenius (géométrique) de la cohomologie étale $ℓ$ -adique de $X$ . On montre que si $X$ a une bonne réduction en $v$ , alors il existe $F \in G (Q)$ tel que, pour tout $ℓ$ , $F_{ℓ}$ soit conjugué à $F$ dans $G (Q_{ℓ})$ . On montre un résultat analogue pour le frobenius de la cohomologie cristalline de la réduction de $X$ modulo $v$ .

Représentations linéaires des groupes kählériens et de leurs analogues projectifs

Fréderic Campana, Benoît Claudon, Philippe Eyssidieux (2014)

Journal de l’École polytechnique — Mathématiques

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Dans cette note nous établissons le résultat suivant, annoncé dans [CCE13] : si $G \subset {GL}_{n} (ℂ)$ est l’image d’une représentation linéaire d’un groupe kählérien $π_{1} (X)$ , il admet un sous-groupe d’indice fini qui est l’image d’une représentation linéaire du groupe fondamental d’une variété projective complexe lisse $X^{'}$ . Il s’agit donc de la solution (à indice fini près) pour les représentations linéaires d’une question usuelle demandant si le groupe...

Dimension algébrique de sous-groupes analytiques de variétés de groupe

Michel Waldschmidt (1975)

Annales de l'institut Fourier

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Soient $G$ une variété de groupe définie sur le corps $\overline{Q}$ des nombres algébriques, et $φ : C^{n} \to G_{C}$ un sous-groupe à $n$ paramètres de $G$ , de dimension algébrique $d$ . Nous nous proposons de majorer le rang $ℓ$ (sur $Z$ ) des sous-groupes $Γ$ de $C^{n}$ dont l’image par $φ$ est contenue dans le groupe $G_{\overline{Q}}$ des points algébriques de $G$ . E. Bombieri et S. Lang ont déjà obtenu de telles majorations, en supposant que les points de $Γ$ sont très bien distribués : pour $d \geq n + 1$ , on a $ℓ \leq n^{2} + 3 n$ pour des variétés linéaires, et $ℓ \leq 2 n^{2} + 4 n$ pour des...

Le problème de Lehmer relatif en dimension supérieure

Emmanuel Delsinne (2009)

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure

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Nous généralisons en dimension supérieure un théorème d’Amoroso et Zannier concernant le problème de Lehmer relatif. Nous minorons la hauteur d’un point d’un tore en fonction de son indice d’obstruction sur $ℚ^{ab}$ , l’extension abélienne maximale de $ℚ$ , à condition qu’il ne soit pas contenu dans une sous-variété de torsion de petit degré. Nous en déduisons une minoration du minimum essentiel d’une sous-variété non contenue dans un sous-groupe algébrique propre en fonction de son indice d’obstruction...

Rigidité des variétés hyperboliques compactes de dimension $\geq 3$

Gérard Besson (1992)

Cours de l'institut Fourier

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Un théorème de Beilinson-Bernstein pour les $𝒟$ -modules arithmétiques

Christine Noot-Huyghe (2009)

Bulletin de la Société Mathématique de France

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Un résultat important de la théorie des groupes, démontré indépendemment dans les années 80 par Beilinson et Bernstein, Brylinski et Kashiwara, est un résultat d’affinité des $𝒟$ -modules sur la variété de drapeaux d’un groupe réductif sur le corps des nombres complexes. Nous donnons ici un analogue arithmétique de ce résultat, pour la catégorie des $𝒟$ -modules arithmétiques sur la variété de drapeaux d’un groupe réductif sur un anneau de valuation discrète complet d’inégales caractéristiques...

Sur le groupe des classes d’un schéma arithmétique

Bruno Kahn (2006)

Bulletin de la Société Mathématique de France

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Nous donnons une démonstration du fait que le groupe des classes d’un schéma irréductible de type fini sur $Spec 𝐙$ est de type fini. Cette preuve ne repose pas sur le théorème de Mordell-Weil-Néron, mais plutôt sur le théorème de Mordell-Weil classique, le théorème de Néron-Severi et les théorèmes de Hironaka et de Jong sur la résolution des singularités. Nous en déduisons quelques corollaires, parmi lesquels le théorème de Mordell-Weil-Néron lui-même.

Sur le rang des variétés abéliennes sur un corps de fonctions

Amílcar Pacheco (2014)

Publications mathématiques de Besançon

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Ce texte est un survey concernant la question du rang d’une variété abélienne $A$ sur un corps de fonctions $K$ en une variable sur un corps de base $k$ . Il s’agit non seulement de discuter une borne supérieure pour ce rang, mais aussi d’étudier le comportement de cette borne si on prend une extension abélienne finie $L$ de $K$ . On se demande aussi : que se passe-t-il quand on enlève cette dernière hypothèse ? Dans un cas particulier, on discute de la validité d’un analogue du théorème de Lang-Néron....

Problème de Plateau complexe dans les variétés kählériennes

Frédéric Sarkis (2002)

Bulletin de la Société Mathématique de France

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L’étude du « problème de Plateau complexe » (ou « problème du bord ») dans une variété complexe $X$ consiste à caractériser les sous-variétés réelles $Γ$ de $X$ qui sont le bord de sous-ensembles analytiques de $X ∖ Γ$ . Notre principal résultat traite le cas $X = U \times ω$ où $U$ est une variété complexe connexe et $ω$ est une variété kählérienne disque convexe. Comme conséquence, nous obtenons des résultats de Harvey-Lawson [19], Dolbeault-Henkin [12] et Dinh [10]. Nous obtenons aussi une généralisation des théorèmes...

Triplets spectraux pour les variétés à singularité conique isolée

Jean-Marie Lescure (2001)

Bulletin de la Société Mathématique de France

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Sur une pseudo-variété de dimension paire à une singularité conique isolée, des triplets spectraux sont construits à partir d’une classe d’opérateurs différentiels elliptiques de type Fuchs, contenant les opérateurs de Dirac à coefficients dans des fibrés plats dans la direction radiale. Ces derniers engendrent, sous une hypothèse raisonnable, le groupe de $K$ -homologie pair tensorisé par $ℂ$ de la pseudo-variété et leur caractère de Chern est calculé.

Décomposition des nombres premiers dans certaines extensions non abéliennes de $𝐐$

Philippe Satge (1974-1975)

Séminaire de théorie des nombres de Grenoble

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