A geometric progression of length k and integer ratio is a set of numbers of the form $a,ar,...,a{r}^{k-1}$ for some positive real number a and integer r ≥ 2. For each integer k ≥ 3, a greedy algorithm is used to construct a strictly decreasing sequence ${\left(a_i\right)}_{i=1}^{\infty }$ of positive real numbers with a₁ = 1 such that the set $G^{\left(k\right)}={\bigcup }_{i=1}^{\infty }(a_{2i},a_{2i-1}]$ contains no geometric progression of length k and integer ratio. Moreover, $G^{\left(k\right)}$ is a maximal subset of (0,1] that contains no geometric progression of length k and integer ratio. It is also proved that there is...

Nous améliorons les meilleures bornes supérieures et inférieures connues pour la fonction $X$ d’Erdös et Graham définie par $X\left(h\right)={max}_{h𝒜\sim \mathbb{N}}{max}_{a\in {𝒜}^{*}}{\mathrm{ord}}^{*}\left(𝒜\setminus a\right)$, où le premier maximum est pris sur toutes les bases (exactes) $𝒜$ d’ordre au plus $h$, où ${𝒜}^{*}$ désigne le sous-ensemble de $𝒜$ composé des éléments $a$ tels que $𝒜\setminus \left\{a\right\}$ soit encore une base et où, enfin, ${\mathrm{ord}}^{*}\left(𝒜\right)$ désigne l’ordre (exact) de $𝒜$. Notre étude nous conduira, entre autres, à prouver un nouveau résultat additif général découlant de la méthode isopérimétrique et à étudier trois problèmes additifs...

Let ${\Phi }_n\left(q\right)$ denote the $n$th cyclotomic polynomial in $q$. Recently, Guo, Schlosser and Zudilin proved that for any integer $n>1$ with $n\equiv 1(mod4)$, $$\sum _{k=0}^{n-1}\frac{{(q^{-1};q^2)}_k^2{(q^{-2};q^4)}_k}{{(q^2;q^2)}_k^2{(q^4;q^4)}_k}{q}^{6k}\equiv 0(mod{\Phi }_n{\left(q\right)}^2),$$ where ${(a;q)}_m=(1-a)(1-aq)\cdots (1-a{q}^{m-1})$. In this note, we give a generalization of the above $q$-congruence to the modulus ${\Phi }_n{\left(q\right)}^3$ case. Meanwhile, we give a corresponding $q$-congruence modulo ${\Phi }_n{\left(q\right)}^2$ for $n\equiv 3(mod4)$. Our proof is based on the ‘creative microscoping’ method, recently developed by Guo and Zudilin, and a ${}_4{\varphi }_3$ summation formula.