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This paper studies integer solutions to the $a b c$ equation $A + B + C = 0$ in which none of $A, B, C$ have a large prime factor. We set $H (A, B, C) = max (| A |, | B |, | C |)$ , and consider primitive solutions ( $\gcd (A, B, C) = 1$ ) having no prime factor larger than ${(log H (A, B, C))}^{κ}$ , for a given finite $κ$ . We show that the $a b c$ Conjecture implies that for any fixed $κ < 1$ the equation has only finitely many primitive solutions. We also discuss a conditional result, showing that the Generalized Riemann hypothesis (GRH) implies that for any fixed $κ > 8$ the $a b c$ equation has infinitely many primitive solutions....

Solution complète en nombres entiers de l’équation $m arctan \frac{1}{x} + n arctan \frac{1}{y} = k \frac{π}{4}$

C. Störmer (1899)

Bulletin de la Société Mathématique de France

Solution de l’équation $X^{4} + 35 Y^{4} = Z^{2}$

le P. Pepin S.J. (1895)

Journal de Mathématiques Pures et Appliquées

Solution d'un problème de Beha-Eddin sur l'analyse indéterminée

Édouard Lucas (1876)

Nouvelles annales de mathématiques : journal des candidats aux écoles polytechnique et normale

Solution of a cyclotomic diophantine equation.

Veikko Ennola (1975)

Journal für die reine und angewandte Mathematik

Solutions des mêmes questions

S. Réalis (1885)

Nouvelles annales de mathématiques : journal des candidats aux écoles polytechnique et normale

Solutions entières de l’équation $Y^{m} = f (X)$

Dimitrios Poulakis (1991)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

Soit $K$ un corps de nombres. Dans ce travail nous calculons des majorants effectifs pour la taille des solutions en entiers algébriques de $K$ des équations, $Y^{2} = f (X)$ , où $f (X) \in K [X]$ a au moins trois racines d’ordre impair, et $Y^{m} = f (X)$ où $m \geq 3$ et $f (X) \in K [X]$ a au moins deux racines d’ordre premier à $m$ . On améliore ainsi les estimations connues ([2],[9]) pour les solutions de ces équations en entiers algébriques de $K$ .

Solutions of cubic equations in quadratic fields

K. Chakraborty, Manisha V. Kulkarni (1999)

Acta Arithmetica

Let K be any quadratic field with $_{K}$ its ring of integers. We study the solutions of cubic equations, which represent elliptic curves defined over ℚ, in quadratic fields and prove some interesting results regarding the solutions by using elementary tools. As an application we consider the Diophantine equation r+s+t = rst = 1 in $_{K}$ . This Diophantine equation gives an elliptic curve defined over ℚ with finite Mordell-Weil group. Using our study of the solutions of cubic equations in quadratic fields...

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