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Twists of Hessian Elliptic Curves and Cubic Fields

Katsuya Miyake (2009)

Annales mathématiques Blaise Pascal

In this paper we investigate Hesse’s elliptic curves H μ : U 3 + V 3 + W 3 = 3 μ U V W , μ ∈ Q - { 1 } , and construct their twists, H μ , t over quadratic fields, and H ˜ ( μ , t ) , μ , t ∈ Q over the Galois closures of cubic fields. We also show that H μ is a twist of H ˜ ( μ , t ) over the related cubic field when the quadratic field is contained in the Galois closure of the cubic field. We utilize a cubic polynomial, R ( t ; X ) : = X 3 + t X + t , t ∈ Q - { 0 , - 27 / 4 } , to parametrize all of quadratic fields and cubic ones. It should be noted that H ˜ ( μ , t ) is a twist of H μ as algebraic curves because it may not always have any rational points...

Une formule de Riemann-Hurwitz pour le groupe de Selmer d'une courbe elliptique

Alexis Michel (1993)

Annales de l'institut Fourier

Soit E une courbe elliptique avec multiplication complexe, définie sur un corps de nombres F . Soit p un nombre premier. En ajoutant certains points de p -torsion de E à F , on construit une ℤ p -extension F ∞ de F . On associe à F ∞ un groupe de Selmer.Pour une p -extension galoisienne de F ∞ , Wingberg a montré, sous les conjectures arithmétiques usuelles, un analogue de la formule de Riemann-Hurwitz pour le corang du groupe de Selmer en haut de la tour. Nous donnons une nouvelle preuve de ce résultat dans l’esprit...

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