Est-il possible d’utiliser les propriétés de la fonction modulaire $j$ pour avancer un peu en direction de la conjecture des quatre exponentielles ? Sur ce thème, le texte propose plusieurs conjectures équivalentes et quelques résultats partiels.

Dans ce texte, nous déterminons explicitement les idéaux premiers différentiellement stables dans l’anneau des formes quasi-modulaires pour ${\mathbf{SL}}_2\left(\mathbb{Z}\right)$. Les techniques introduites permettent de préciser des résultats de Nesterenko dans [5] et [6].

For $x\in ℂ$, $\left|x\right|\<1$, $s\in \mathbb{N}$, let ${\mathrm{Li}}_s\left(x\right)$ be the $s$-th polylogarithm of $x$. We prove that for any non-zero algebraic number $\alpha$ such that $\left|\alpha \right|\<1$, the $\mathbb{Q}\left(\alpha \right)$-vector space spanned by $1,{\mathrm{Li}}_1\left(\alpha \right),{\mathrm{Li}}_2\left(\alpha \right),\cdots$ has infinite dimension. This result extends a previous one by Rivoal for rational $\alpha$. The main tool is a method introduced by Fischler and Rivoal, which shows the coefficients of the polylogarithms in the relevant series to be the unique solution of a suitable Padé approximation problem.