Pour majorer les sommes d’exponentielles de la forme ${\sum }_{m\backsim M}e\left(f\left(m\right)\right)$ uniquement en fonction de la dérivée $k$-ième de $f$, on dispose soit de la méthode de van der Corput pour les petites valeurs de $k$, soit de celle de Vinogradov pour les grandes valeurs de $k$. La jonction entre ces deux méthodes, tenant compte des progrès récents de l’une et de l’autre, est obtenue ici en étudiant les cas $k=9,10,11$ par une méthode qui relève essentiellement de celle de Vinogradov. Des calculs difficiles, effectués sur ordinateur, rendent...

The Selberg sieve provides majorants for certain arithmetic sequences, such as the primes and the twin primes. We prove an $L^2$–$L^p$ restriction theorem for majorants of this type. An immediate application is to the estimation of exponential sums over prime $k$-tuples. Let $a_1,\cdots ,a_k$ and $b_1,\cdots ,b_k$ be positive integers. Write $h\left(\theta \right):={\sum }_{n\in X}e\left(n\theta \right)$, where $X$ is the set of all $n\le N$ such that the numbers $a_{1}n+b_1,\cdots ,a_{k}n+b_k$ are all prime. We obtain upper bounds for ${\parallel h\parallel }_{L^p\left(𝕋\right)}$, $p\>2$, which are (conditionally on the Hardy-Littlewood prime tuple conjecture) of the correct order...

Soit $q\in \mathbb{N}$, $q\ge 2$. Pour $n\in \mathbb{N}$, on note $s_q\left(n\right)$ la somme des chiffres de $n$ en base $q$. Nous donnons des majorations de sommes d’exponentielles de la forme$$G(x,y,\theta ;\alpha ,𝐡)=\sum _{x\<n\le x+y}exp\left(2i\pi ({\alpha }_1{s}_q\left(h_{1}n\right)+\cdots +{\alpha }_r{s}_q\left(h_{r}n\right)+\theta n)\right),$$pour $r\in {\mathbb{N}}^{*}$, $𝐡\in {\mathbb{N}}^{*r}$ et $\theta \in r$. De telles sommes ont déjà été étudiées dans le cas $r=1$ par Gelfond, et pour $r\ge 2$ entre autre par Coquet et Solinas. Nos résultats étendent le domaine de validité en $𝐡$ de ces précédents travaux pour $r\ge 2$, sont plus précis et ont l’avantage d’être uniformes en $x$ et $r$ et effectifs en $𝐡$. Ce contrôle soigneux des paramètres nous permet d’obtenir divers types d’applications....