A notion of positivity, called Seshadri ampleness, is introduced for a smooth curve $C$ in a polarized smooth projective $3$-fold $\left(X,A\right)$, whose motivation stems from some recent results concerning the gonality of space curves and the behaviour of stable bundles on ${\mathbb{P}}^3$ under restriction to $C$. This condition is stronger than the normality of the normal bundle and more general than $C$ being defined by a regular section of an ample rank-$2$ vector bundle. We then explore some of the properties of Seshadri-ample curves....

We classify stably simple reducible curve singularities in complex spaces of any dimension. This extends the same classification of irreducible curve singuarities obtained by V. I. Arnold. The proof is essentially based on the method of complete transversals by J. Bruce et al.

We show that the first order structure whose underlying universe is ℂ and whose basic relations are all algebraic subsets of ℂ² does not have quantifier elimination. Since an algebraic subset of ℂ² is either of dimension ≤ 1 or has a complement of dimension ≤ 1, one can restate the former result as a failure of quantifier elimination for planar complex algebraic curves. We then prove that removing the planarity hypothesis suffices to recover quantifier elimination: the structure with the universe...

Motivated by the notion of Seshadri-ampleness introduced in [11], we conjecture that the genus and the degree of a smooth set-theoretic intersection $C\subset {\mathbb{P}}^3$ should satisfy a certain inequality. The conjecture is verified for various classes of set-theoretic complete intersections.

Per $d\gg g$, vengono trovate curve liscie in ${\mathbb{P}}^3$ di grado $d$ e genere $g$ aventi fibrato normale instabile con grado di instabilità $\sigma$, per ogni $1\le \sigma \le d-4$. Inoltre per $4g-2\le \sigma \le d-4$, viene trovata una famiglia di curve in ${\mathbb{P}}^3$ di grado $d$ e genere $g$ avente fibrato normale instabile con grado di instabilità $\sigma$ e formante uno strato dello schema di Hilbert della giusta dimensione che è $4d-g+1-2\sigma$.

Une courbe réelle peut avoir des points doubles ordinaires de trois types différents : des points doubles réels à tangentes réelles, des points doubles réels isolés dans le domaine réel et des points doubles imaginaires. Soient $\alpha ,\beta ,\gamma ,d\ge n\ge 2$ des entiers tels que $\alpha +\beta +2\gamma \le C(d,n)$ (où $C(d,n)$ désigne la borne de Castelnuovo). On construit une courbe réelle irréductible de degré $d$, non dégénérée dans l’espace projectif ${\mathbf{P}}_n$ (i.e. non contenue dans un hyperplan) ayant pour seules singularités $\alpha$ points doubles réels à tangentes réelles,...

Harris et Eisenbud ont trouvé des bornes pour le genre des courbes de degré ${\mathbf{P}}_r$ non contenus dans une surface de degré inférieur à $s$ (avec $s\<2r-2$). On construit ici des courbes rationnelles de genre arithmétique maximum pour $s\<2r-3$, c’est-à-dire possédant un lieu singulier maximum. Nos courbes n’ont que des points multiples ordinaires réels à tangentes réelles et quand c’est possible elles sont nodales.

Dans cet article, nous étudions le schéma de Hilbert $H_{d,g}$ des courbes gauches (de pure dimension 1 et sans points immergés) de degré $d\ge 4$ et genre $g=(d-3)(d-4)/2$, qui est le plus grand genre pour lequel l’étude de $H_{d,g}$ est non triviale. Nous commençons par donner, pour chaque valeur de $d$, tous les modules de Rao des courbes de $H_{d,g}$ et ses sous-schémas à cohomologie constante, et nous décrivons la courbe générique de chacun de ces sous-schémas. Nous déduisons ensuite les composantes irréductibles et la dimension de $H_{d,g}$. Enfin,...