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Quelles sont les propriétés d’un groupe de présentation finie “tiré au hasard” ? La réponse à cette question dépend bien entendu de la méthode choisie pour le tirage au sort. On peut par exemple fixer $n$ générateurs et choisir $p$ relations aléatoirement parmi les mots de longueur $L$ , puis faire tendre $L$ vers l’infini. On peut aussi choisir un graphe fini, étiqueter aléatoirement ses arêtes par des générateurs, et considérer le groupe engendré par ces générateurs, soumis aux relations lues sur les cycles...

Groupes automatiques et courbure négative (d'après D.B.A. Epstein)

Frédéric Mouton (1989/1990)

Séminaire de théorie spectrale et géométrie

Groupes de Garside

Patrick Dehornoy (2002)

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure

Groups acting on $CAT (0)$ cube complexes.

Niblo, Graham, Reeves, Lawrence (1997)

Geometry & Topology

Groups generated by k-root subgroups.

F.G. Timmesfeld (1991)

Inventiones mathematicae

Groups of given intermediate word growth

Laurent Bartholdi, Anna Erschler (2014)

Annales de l’institut Fourier

We show that there exists a finitely generated group of growth $\sim f$ for all functions $f : ℝ_{+} \to ℝ_{+}$ satisfying $f (2 R) \leq f {(R)}^{2} \leq f (η_{+} R)$ for all $R$ large enough and $η_{+} \approx 2.4675$ the positive root of $X^{3} - X^{2} - 2 X - 4$ . Set $α_{-} = log 2 / log η_{+} \approx 0.7674$ ; then all functions that grow uniformly faster than $exp (R^{α_{-}})$ are realizable as the growth of a group.We also give a family of sum-contracting branched groups of growth $\sim exp (R^{α})$ for a dense set of $α \in [α_{-}, 1]$ .

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