Soient $F$ un corps commutatif localement compact non archimédien et $\psi$ un caractère non trivial du groupe additif de $F$. La correspondance de Langlands locale donne, pour chaque entier $n\ge 1$, une bijection $\sigma \mapsto {\pi }_n\left(\sigma \right)$ de l’ensemble ${𝒢}_F\left(n\right)$ des classes d’isomorphisme de représentations de dimension $n$ du groupe de Weil-Deligne de $F$ sur l’ensemble ${𝒜}_F\left(n\right)$ des classes d’isomorphisme de représentations lisses irréductibles de ${\mathrm{GL}}_n\left(F\right)$. La bijection ${\pi }_1$ est donnée par la théorie locale du corps de classes, et pour $\sigma \in {𝒢}_F\left(n\right)$, ${\sigma }^{\text{'}}\in {𝒢}_F\left(n^{\text{'}}\right)$, on a$$L(s,\sigma \otimes {\sigma }^{\text{'}})=L(s,{\pi }_n\left(\sigma \right)\times {\pi }_{n^{\text{'}}}\left({\sigma }^{\text{'}}\right)),\epsilon (s,\sigma \otimes {\sigma }^{\text{'}},\psi )=\epsilon (s,{\pi }_n\left(\sigma \right)\times {\pi }_{n^{\text{'}}}\left({\sigma }^{\text{'}}\right),\psi ).$$Nous prouvons...

Dans la théorie des représentations de ${\mathrm{GL}}_n$ (et ses formes intérieures) sur un corps local non-archimédien, nous disposons de deux classifications, dues à Zelevinsky et Langlands, construites à partir de certaines représentations segments $\mathrm{Z}\left(\Delta \right)$ et $\mathrm{L}\left(\Delta \right)$. Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour l’irréductibilité de l’induite parabolique $\mathrm{Z}\left(\Delta \right)\times \mathrm{L}\left({\Delta }^{\text{'}}\right)$ des segments $\Delta$, ${\Delta }^{\text{'}}$. On en déduit des nouvelles conditions suffisantes pour l’irréductibilité d’une induite parabolique de représentations quelconques. Ce critère...

Nous montrons dans le cas simple du groupe linéaire général, comment on peut déduire de [V. Heiermann 2004] des informations précises sur le degré formel d’une représentation de carré intégrable d’un groupe $p$-adique.