We find a relation between the vanishing of a globally defined residue current on ${\mathbb{P}}^n$ and solution of the membership problem with control of the polynomial degrees. Several classical results appear as special cases, such as Max Nöther’s theorem, for which we also obtain a generalization. Furthermore there are some connections to effective versions of the Nullstellensatz. We also provide explicit integral representations of the solutions.

On utilise le calcul résiduel pour un calcul effectif de la trace d’une forme méromorphe sur une hypersurface analytique permettant d’obtenir une caractérisation des formes traces. En conséquence, une version plus forte du théorème d’Abel-inverse global que celle donnée dans [16] est prouvée  : le courant $\left[V\right]\wedge \Phi$ est algébrique si et seulement si sa transformée d’Abel $𝒜\left(\right[V]\wedge \Phi )$ est rationnelle en les variables ne correspondant pas à la pente. La preuve s’appuie sur des mécanismes algébriques d’inversion et sur...