Let $𝒰$ be an open neighborhood of the origin in ${ℂ}^{n+1}$ and let $f:(𝒰,\mathbf{0})\to (ℂ,0)$ be complex analytic. Let $z_0$ be a generic linear form on ${ℂ}^{n+1}$. If the relative polar curve ${\Gamma }_{f,z_0}^1$ at the origin is irreducible and the intersection number $({\Gamma }_{f,z_0}^1{·V\left(f\right))}_{\mathbf{0}}$ is prime, then there are severe restrictions on the possible degree $n$ cohomology of the Milnor fiber at the origin. We also obtain some interesting, weaker, results when $({\Gamma }_{f,z_0}^1{·V\left(f\right))}_{\mathbf{0}}$ is not prime.

Let k be an algebraically closed field, char k = 0. Let C be an irreducible nonsingular curve such that rC = S ∩ F, r ∈ ℕ, where S and F are two surfaces and all the singularities of F are of the form $z³=x^{3s}-y^{3s}$, s ∈ ℕ. We prove that C can never pass through such kind of singularities of a surface, unless r = 3a, a ∈ ℕ. We study multiplicity-r structures on varieties r ∈ ℕ. Let Z be a reduced irreducible nonsingular (n-1)-dimensional variety such that rZ = X ∩ F, where X is a normal n-fold, F is a (N-1)-fold...

For a holomorphic function on a complex manifold, we show that the vanishing cohomology of lower degree at a point is determined by that for the points near it, using the perversity of the vanishing cycle complex. We calculate this order of vanishing explicitly in the case the hypersurface has simple normal crossings outside the point. We also give some applications to the size of Jordan blocks for monodromy.

L’objectif de cet article est de mettre en place, dans le cadre de fonctions à lieu singulier de dimension 1, avec des hypothèses assez restrictives mais donnant accès à beaucoup d’exemples non triviaux, l’analogue de la théorie de E.Brieskorn pour une fonction à singularité isolée. Les principaux résultats sont le théorème de finitude pour le $(a,b)$-module associé à l’origine, qui est obtenu via le théorème de constructibilité de M. Kashiwara, et les résultats de non torsion pour une courbe plane (non...

Dans notre article [6] nous avons construit, pour une classe assez large de germes de fonctions holomorphes $f:({ℂ}^{n+1},0)\to (ℂ,0)$ à lieu singulier $S:=\{df=0\}$ de dimension 1 des invariants analytiques qui généralisent le réseau de Brieskorn d’un germe à singularité isolée. Dans cet article nous montrons que les résultats que nous avions obtenus s’étendent àtous les germes à lieu singulier de dimension 1 sans autre restriction. Ces invariants, essentiellement donnés par des (a,b)-modules géométriques, (objet qui est une abstraction...