Soit un sous-différentiel (non coercif) dans un espace de Hilbert.On étudie l’existence de solutions bornées ou périodiques pour l’équationDeux solutions périodiques éventuelles diffèrent d’une constante. Si est périodique et compact, toute trajectoire bornée est asymptote pour à une trajectoire périodique.
On considère le problème :où est un ouvert borné de , où est une fonction de Carathéodory, monotone en , coercive, qui définit un opérateur dans (avec ), et où appartient à ou est une mesure bornée sur . On introduit une nouvelle définition de la solution de ce problème, la notion de solution renormalisée (ou entropique), et on montre l’existence d’une telle solution et sa continuité par rapport à . Quand appartient à , on montre en outre que cette solution est unique.
The authors prove the global existence and exponential stability of solutions of the given system of equations under the condition that the initial velocities and the external forces are small and the initial density is not far from a constant one. If the external forces are periodic, then solutions periodic with the same period are obtained. The investigated system of equations is a bit non-standard - for example the displacement current in the Maxwell equations is not neglected.