Le problème de Riemann-Hilbert sur une variété complexe $V$ s’énonce de la manière suivante : soit $A$ un sous-ensemble analytique de $V$ de codimension un en chacun de ses points et $\chi$ une représentation de ${\Pi }_1(V-A)$ dans $\mathrm{Gl}(n,\mathbf{C}$. Existe-t-il un système de Pfaff $df=\omega f$ du type de Fuchs où $\omega \in {\Omega }^{nXn}(V,A)$ (J. de Math. Pures et Appl., 47, (1968)) dont la monodromie soit la classe de la représentation $\chi$ ?On montre en particulier que si $V$ est une variété de Stein contractile et si les composantes irréductibles de $A$ sont sans singularités...

We study the long-time behavior of solutions of the initial-boundary value (IBV) problem for the Camassa–Holm (CH) equation $u_t-u_{txx}+2u_x+3u{u}_x=2u_x{u}_{xx}+u{u}_{xxx}$ on the half-line $x\ge 0$. The paper continues our study of IBV problems for the CH equation, the key tool of which is the formulation and analysis of associated Riemann–Hilbert factorization problems. We specify the regions in the quarter space-time plane $x\>0$, $t\>0$ having qualitatively different asymptotic pictures, and give the main terms of the asymptotics in terms of spectral data...

We present a survey of recent results concerned with generalizations of the classical Riemann-Hilbert transmission problem in the context of loop spaces. Specifically, we present a general formulation of a Riemann-Hilbert problem with values in an almost complex manifold and illustrate it by discussing two particular cases in more detail. First, using the generalized Birkhoff factorization theorem of A. Pressley and G. Segal we give a criterion of solvability for generalized Riemann-Hilbert problems...