Soit $M$ une variété de Seifert de groupe fondamental non virtuellement résoluble. Soit $\Phi$ un feuilletage de dimension $1$ sur $M$, muni d’une structure projective réelle transverse. On suppose que $\Phi$ satisfait la propriété de relèvement des chemins, i.e., que l’espace des feuilles du relèvement de $\Phi$ dans le revêtement universel de $M$ est séparé au sens de Hausdorff. On montre qu’à revêtements finis près, $\Phi$ est soit une fibration projective, soit un feuilletage géodésique convexe, soit un feuilletage horocyclique...

In this article we prove that the fibration of $L^2(S^1)$ by potentials which are isospectral for the 1-dimensional periodic Schrödinger equation, is trivial. This result can be applied, in particular, to $N$-gap solutions of the Korteweg-de Vries equation (KdV) on the circle: one shows that KdV, a completely integrable Hamiltonian system, has global action-angle variables.

We prove that for each integer $k\ge 2$ there is an open neighborhood ${𝒱}_k$ of the identity map of the 2-sphere $S^2$, in $C^1$ topology such that: if $G$ is a nilpotent subgroup of ${\mathrm{Diff}}^1\left(S^2\right)$ with length $k$ of nilpotency, generated by elements in ${𝒱}_k$, then the natural $G$-action on $S^2$ has nonempty fixed point set. Moreover, the $G$-action has at least two fixed points if the action has a finite nontrivial orbit.