Dans cet article, on s’intéresse à l’aspect conforme du spectre d’opérateurs de Dirac dans le cadre des variétés à bord. Dans un premier temps, on étudie la première valeur propre de l’opérateur de Dirac sous la condition associée à un opérateur de chiralité conduisant à la définition d’un nouvel invariant spinoriel conforme. Dans la dernière partie, on s’intéresse à l’opérateur de Dirac du bord en reliant sa première valeur propre à des invariants reflétant la géométrie extrinsèque du bord. Dans...

On montre que la géométrie de Hilbert d’un domaine convexe de ${ℝ}^n$ est à géométrie locale bornée c-à-d que pour un rayon fixé, toutes les boules sont bilipschitz à un domaine de ${ℝ}^n$ euclidien. On en déduit que si la géométrie de Hilbert est hyperbolique au sens de Gromov, alors le bas de son spectre est strictement positif. On donne un contre-exemple en dimension trois qui montre que la réciproque n’est pas vraie pour les géométries de Hilbert non planes.

Given a finite-volume hyperbolic 3-manifold, we compose a lift of the holonomy in $SL(2,\mathbf{C})$ with the $n$-dimensional irreducible representation of $SL(2,\mathbf{C})$ in $SL(n,\mathbf{C})$. In this paper we give local coordinates of the $SL(n,\mathbf{C})$-character variety around the character of this representation. As a corollary, this representation is isolated among all representations that are unipotent at the cusps.