On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser en un premier $p$ si toute extension modérée abélienne finie de degré $p$ admet une base normale entière. On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser s’il est de Hilbert-Speiser pour tout premier $p$. Il est bien connu que $\mathbb{Q}$ est un tel corps. Dans un article [3] de 1998, Greither, Replogle, Rubin et Srivastav ont montré que $\mathbb{Q}$ était le seul corps de Hilbert-Speiser. On donne ici une condition nécessaire et suffisante pour qu’un corps soit de Hilbert-Speiser en $p=2$....

La théorie des corps finis a été faite il y a longtemps et ne comporte plus de problèmes ouverts. Toutefois, quand l'utilisateur cherche à déterminer effectivement un corps fini d'ordre donné, il rencontre des difficultés : après avoir eu beaucoup de mal pour obtenir un polynome irréductible unitaire de degré convenable, il constate souvent que les racines de ce polynome n'engendrent pas le groupe multiplicatif des éléments non nuls, d'où des complications pour obtenir la table multiplicative du...

Soit $p$ un nombre premier rationnel. Le sujet de l’article est l’étude de la dynamique des fonctions entières $p$-adiques. On démontre des résultats analogues à ceux connus dans le domaine complexe, en particulier si deux fonctions entières $p$-adiques qui ont un point répulsif commun commutent, alors leurs ensembles de Julia et de Fatou sont les mêmes.

Soient $U$ et $V$ deux systèmes de numération de Bertrand, $\alpha$ et $\beta$ deux $\beta$-nombres multiplicativement indépendants tels que $L\left(U\right)=L\left(\alpha \right)$ et $L\left(V\right)=L\left(\beta \right)$, et $E$ un sous-ensemble de $\mathbb{N}$. Si $E$ est $U$-reconnaissable et $V$-reconnaissable alors $E$ est une réunion finie de progressions arithmétiques.

Let $\tau \left(n\right)$ be the number of divisors of $n$ ; let us define$$S_{\lambda }\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}Card\left\{n\le x;\tau \left(n\right)\ge {(logx)}^{\lambda log2}\right\}\hfill & \mathrm{if}\lambda \ge 1\hfill \\ Card\left\{n\le x;\tau \left(n\right)\<{(logx)}^{\lambda log2}\right\}\hfill & \mathrm{if}\lambda \<1\hfill \end{array}\right.$$It has been shown that, if we set$$f(\lambda ,x)=\frac{x}{{(logx)}^{\lambda log\lambda -\lambda +1}\sqrt{loglogx}}$$the quotient $S\lambda \left(x\right)/f(\lambda ,x)$ is bounded for $\lambda$ fixed.$$ The aim of this paper is to give an explicit value for the inferior and superior limits of this quotient when $\lambda \ge 2$. For instance, when $\lambda =1/log2$, we prove$$liminf\frac{S_{\lambda }\left(x\right)}{f(\lambda ,x)}=0.938278681143\cdots$$and$$liminf\frac{S_{\lambda }\left(x\right)}{f(\lambda ,x)}=1.148126773469\cdots$$

Soit $a\left(n\right)$ le nombre de groupes abéliens d’ordre $n$. Pour étudier les grandes valeurs prises par $a\left(n\right)$, on définit, comme l’a fait Ramanujan pour le nombre de diviseurs de $n$, les nombres $a$-hautement composés et $a$-hautement composés supérieurs. Pour calculer ces derniers nombres, on détermine les sommets de l’enveloppe inférieure convexe de la fonction $logP\left(n\right)$ où $P\left(n\right)$ est le nombre de partitions de $n$. Sous l’hypothèse de Riemann, on donne un développement asymptotique de l’ordre maximum de la fonction $a\left(n\right)$.