On désigne par $r(n,m)$ le nombre de partitions de l’entier $n$ en parts supérieures ou égales à $m$. En partant de l’estimation asymptotique de $r(n,m)$ exprimée à l’aide d’un paramètre $\sigma$ défini implicitement en fonction de $n$ et $m$, nous éliminons ce paramètre en utilisant la formule sommatoire d’Euler-Maclaurin, pour obtenir un développement asymptotique de $r(n,m)$ valable pour $n\to +\infty$, et $1\le m\le \Gamma \sqrt{n}$, $\Gamma$ étant un réel quelconque.

On désigne par $r(n,m)$ le nombre de partitions de l’entier $n$ en parts supérieures ou égales à $m$, et $R(n,m)=r(n-m,m)$ le nombre de partitions de $n$ de plus petite part $m$. Dans un précédent article (voir [9]) un développement asymptotique de $r(n,m)$ est obtenu uniformément pour $1\le m=O\left(\sqrt{n}\right)$ ; on complète ce développement uniformément pour $1\le m=\left(n{log}^{-3}n\right)$. Afin de prolonger les résultats jusqu’à $m\le n$, on donne un encadrement de $r(n,m)$ valable pour $n^{2/3}\le m\le n$ en utilisant la relation $r(n,m)={\sum }_{t=1}^{\lfloor n/m\rfloor }P(n-(m-1)t,t)$ où $P(i,t)$ désigne le nombre de partitions de $i$ en exactement $t$ parts. On donne aussi une...

Given a monic degree $N$ polynomial $f\left(x\right)\in \mathbb{Z}\left[x\right]$ and a non-negative integer $\ell$, we may form a new monic degree $N$ polynomial $f_{\ell }\left(x\right)\in \mathbb{Z}\left[x\right]$ by raising each root of $f$ to the $\ell$th power. We generalize a lemma of Dobrowolski to show that if $m\<n$ and $p$ is prime then $p^{N(m+1)}$ divides the resultant of $f_{p^m}$ and $f_{p^n}$. We then consider the function $(j,k)\mapsto Res(f_j,f_k)mod{p}^m$. We show that for fixed $p$ and $m$ that this function is periodic in both $j$ and $k$, and exhibits high levels of symmetry. Some discussion of its structure as a union of lattices is also given.

In this paper, we find all Pell and Pell-Lucas numbers written in the form $-2^a-3^b+5^c$, in nonnegative integers $a$, $b$, $c$, with $0\le max\{a,b\}\le c$.