Let $C$ be a $\mathbb{Q}$-curve with no complex multiplication. In this note we characterize the number fields $K$ such that there is a curve $C^{\text{'}}$ isogenous to $C$ having all the isogenies between its Galois conjugates defined over $K$, and also the curves $C^{\text{'}}$ isogenous to $C$ defined over a number field $K$ such that the abelian variety Res${}_{K/\mathbb{Q}}(C^{\text{'}}/K)$ obtained by restriction of scalars is a product of abelian varieties of GL${}_2$-type.

On montre, sous certaines hypothèses un résultat en direction de la conjecture de Serre pour $GS{p}_4$ formulée dans un autre article avec F. Herzig : si la représentation résiduelle associée à une forme de Siegel de genre $2$, de niveau premier à $p$, $p$-ordinaire de poids $p$-petit, laisse stables deux droites (au lieu d’une) dans un plan lagrangien, alors cette forme possède une forme compagnon de poids prescrit. Notre méthode consiste à traduire, grâce au théorème de comparaison mod. $p$ de Faltings, l’existence...