The Local Converse Problem is to determine how the family of the local gamma factors $\gamma (s,\pi \times \tau ,\psi )$ characterizes the isomorphism class of an irreducible admissible generic representation $\pi$ of ${\mathrm{GL}}_n\left(F\right)$, with $F$ a non-archimedean local field, where $\tau$ runs through all irreducible supercuspidal representations of ${\mathrm{GL}}_r\left(F\right)$ and $r$ runs through positive integers. The Jacquet conjecture asserts that it is enough to take $r=1,2,...,\left[\frac{n}{2}\right]$. Based on arguments in the work of Henniart and of Chen giving preliminary steps towards the Jacquet conjecture,...

Nous utilisons la théorie des paires couvrantes de C. Bushnell et P. Kutzko afin de déterminer des types pour chaque classe d’inertie de représentations supercuspidales irréductibles des sous-groupes de Levi maximaux de $S{p}_4\left(F\right)$ et de $GS{p}_4\left(F\right)$, où $F$ est un corps local non archimédien de caractéristique résiduelle impaire.

Soient $F$ un corps commutatif localement compact non archimédien et $\psi$ un caractère non trivial du groupe additif de $F$. La correspondance de Langlands locale donne, pour chaque entier $n\ge 1$, une bijection $\sigma \mapsto {\pi }_n\left(\sigma \right)$ de l’ensemble ${𝒢}_F\left(n\right)$ des classes d’isomorphisme de représentations de dimension $n$ du groupe de Weil-Deligne de $F$ sur l’ensemble ${𝒜}_F\left(n\right)$ des classes d’isomorphisme de représentations lisses irréductibles de ${\mathrm{GL}}_n\left(F\right)$. La bijection ${\pi }_1$ est donnée par la théorie locale du corps de classes, et pour $\sigma \in {𝒢}_F\left(n\right)$, ${\sigma }^{\text{'}}\in {𝒢}_F\left(n^{\text{'}}\right)$, on a$$L(s,\sigma \otimes {\sigma }^{\text{'}})=L(s,{\pi }_n\left(\sigma \right)\times {\pi }_{n^{\text{'}}}\left({\sigma }^{\text{'}}\right)),\epsilon (s,\sigma \otimes {\sigma }^{\text{'}},\psi )=\epsilon (s,{\pi }_n\left(\sigma \right)\times {\pi }_{n^{\text{'}}}\left({\sigma }^{\text{'}}\right),\psi ).$$Nous prouvons...

Dans la théorie des représentations de ${\mathrm{GL}}_n$ (et ses formes intérieures) sur un corps local non-archimédien, nous disposons de deux classifications, dues à Zelevinsky et Langlands, construites à partir de certaines représentations segments $\mathrm{Z}\left(\Delta \right)$ et $\mathrm{L}\left(\Delta \right)$. Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour l’irréductibilité de l’induite parabolique $\mathrm{Z}\left(\Delta \right)\times \mathrm{L}\left({\Delta }^{\text{'}}\right)$ des segments $\Delta$, ${\Delta }^{\text{'}}$. On en déduit des nouvelles conditions suffisantes pour l’irréductibilité d’une induite parabolique de représentations quelconques. Ce critère...

Nous montrons dans le cas simple du groupe linéaire général, comment on peut déduire de [V. Heiermann 2004] des informations précises sur le degré formel d’une représentation de carré intégrable d’un groupe $p$-adique.