Nous définissons deux notions nouvelles en géométrie analytique réelle, celle de fonction Nash-analytique et celle de faisceau semi-cohérent. Avec ces notions, nous obtenons des théorèmes de cohérence analogues à ceux du cas complexe (théorème de cohérence d’Oka, théorème de l’image directe, cohérence d’un ensemble analytique complexe).

The Gleason problem is solved on real analytic pseudoconvex domains in ${\mathbf{C}}^2$. In this case the weakly pseudoconvex points can be a two-dimensional subset of the boundary. To reduce the Gleason problem to a $\bar{\partial }$ question it is shown that the set of Kohn-Nirenberg points is at most one-dimensional. In fact, except for a one-dimensional subset, the weakly pseudoconvex boundary points are $R$-points as studied by Range and therefore allow local sup-norm estimates for $\bar{\partial }$.

We study here several finiteness problems concerning affine Nash manifolds $M$ and Nash subsets $X$. Three main results are: (i) A Nash function on a semialgebraic subset $Z$ of $M$ has a Nash extension to an open semialgebraic neighborhood of $Z$ in $M$, (ii) A Nash set $X$ that has only normal crossings in $M$ can be covered by finitely many open semialgebraic sets $U$ equipped with Nash diffeomorphisms $(u_1,\cdots ,u_m):U\to {ℝ}^m$ such that $U\cap X=\{u_1\cdots u_r=0\}$, (iii) Every affine Nash manifold with corners $N$ is a closed subset of an affine Nash manifold...

Soit $\pi :V\to W$ un morphisme propre fini et surjectif entre deux variétés analytiques complexes. Nous donnons une caractérisation des fonctions (continues) sur $W$ qui sont de la forme ${\pi }_{*}f$ où $f$ est une fonction $C^{\infty }$ sur $V$. Pour cela nous introduisons la notion de fonction de type trace sur une variété analytique complexe. Ces fonctions sont analytiques réelles en dehors d’une hypersurface complexe et admettent des singularités très simples aux points de cette hypersurface.