On prouve que le problème de Cauchy local pour l’équation d’onde sur-critique dans ${ℝ}^d$, $\square u+u^p=0$, $p$ impair, avec $d\ge 3$ et $p\>(d+2)/(d-2)$, est mal posé dans $H^{\sigma }$ pour tout $\sigma \in ]1,{\sigma }_{\mathrm{crit}}[$, où ${\sigma }_{\mathrm{crit}}=d/2-2/(p-1)$ est l’exposant critique.

Soit $F_0$ un difféomorphisme d’une surface possédant deux fers à cheval $\Lambda ,{\Lambda }^{\text{'}}$ tels que $W^s\Lambda$ et $W^u{\Lambda }^{\text{'}}$ aient en un point $q$ une tangence quadratique isolée. Nous montrons que, si la somme des dimensions transverses de $W^s\Lambda$ et $W^u{\Lambda }^{\text{'}}$ est strictement plus grande que 1, les difféomorphismes voisins de $F_0$ tels que $W^s\Lambda$ et $W^u{\Lambda }^{\text{'}}$ soient stablement tangents au voisinage de $q$ forment une partie de densité inférieure strictement positive en $F_0$.

Soient $G$ un groupe algébrique complexe réductif et connexe, $B$ un sous-groupe de Borel de $G$ et $H$ un sous-groupe sphérique de $G$. Soit $X$ un plongement $G\times G$-équivariant de $G$. Nous savons que $B\times H$ n’a qu’un nombre fini d’orbites dans $G$ ; nous montrons qu’il n’en a qu’un nombre fini dans $X$. Soit $\overline{V}$ l’adhérence dans $X$ d’une orbite de $B\times H$ dans $G$ et $\overline{𝒪}$ l’adhérence d’une orbite de $G\times G$ dans $X$. Si $X$ est toroïdal, nous montrons que l’intersection $\overline{V}\cap \overline{𝒪}$ est propre dans $X$ et la décrivons ensemblistement. Si de plus...

Soit $ℰ$ un espace topologique, ${ℰ}^{\text{'}}$ un espace métrique et $\left(S\right)$ un système d’équations d’évolution admettant une solution dans ${ℰ}^{\text{'}}$ pour toute donnée initiale dans $ℰ$ et stable vis-à-vis des données initiales sur $ℰ$. On montre que l’ensemble des données initiales pour lesquelles $\left(S\right)$ admet une unique solution est un $G_{\delta }$ de $ℰ$. En particulier, si l’unicité est vraie sur un sous-ensemble dense de $ℰ$, elle l’est génériquement.

Soient $X$ une variété algébrique complexe, lisse, irréductible, $E$ et $F$ deux espaces vectoriels complexes de dimension finie et $\mu$ un morphisme de $X$ dans l’espace Lin$(E,F)$ des applications linéaires de $E$ dans $F$. Pour $x\in X$, on note $E\left(x\right)$ et $x·E$ le noyau et l’image de $\mu \left(x\right)$, ${\overline{\mu }}_x$ le morphisme de $X$ dans Lin$\left(E\right(x),F/(x·E\left)\right)$ qui associe à $y$ l’application linéaire $v\mapsto \mu \left(y\right)\left(v\right)+x·E$. Soit i${}_{\mu }$ la dimension minimale de $E\left(x\right)$. On dit que $\mu$ asi i${}_{{\overline{\mu }}_x}$ est inférieur à i${}_{\mu }$. Soient $F^{*}$ le dual de $F$, S$\left(F\right)$ l’algèbre symétrique de $F$, ${ℐ}_{\mu }$ l’idéal de ${𝒪}_X{\otimes }_{ℂ}\mathrm{S}\left(F\right)$ engendré par les fonctions...

Soit $r\ge 1$, $n\ge 2$, et $q\ge n-1$ des entiers. On introduit la classe ${𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$ des sous-variétés $X$ de dimension $r+1$ d’un espace projectif, telles que pour $(x_1,...,x_n)\in X^n$ générique, il existe une courbe rationnelle normale de degré $q$, contenue dans $X$ et passant par les points $x_1,...,x_n$ ; $X$ engendre un espace projectif dont la dimension, pour $r$, $n$ et $q$ donnés, est la plus grande possible compte tenu de la première propriété. Sous l’hypothèse $q\ne 2n-3$, on détermine toutes les variétés $X$ appartenant à la classe ${𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$. On montre en particulier qu’il...

La conjecture de « dualité étrange » de Le Potier donne un isomorphisme entre l’espace des sections du fibré déterminant sur deux espaces de modules différents de faisceaux semi-stables sur le plan projectif ${\mathbb{P}}_2$. On considère deux classes orthogonales $c,u$ dans l’algèbre de Grothendieck $\mathrm{K}\left({\mathbb{P}}_2\right)$ telles que $c$ est de rang strictement positif et $u$ est de rang zéro, et on note ${\mathrm{M}}_c$ et ${\mathrm{M}}_u$ les espaces de modules de faisceaux semi-stables de classe $c$, respectivement $u$ sur ${\mathbb{P}}_2$. Il existe sur ${\mathrm{M}}_c$ (resp. ${\mathrm{M}}_u$) un fibré...

Soit $M$ une variété hyperbolique compacte de dimension 3, de diamètre $d$ et de volume $\le V$. Si on note ${\mu }_i\left(M\right)$ la $i$-ième valeur propre du laplacien de Hodge-de Rham agissant sur les 1-formes coexactes de $M$, on montre que ${\mu }_1\left(M\right)\ge \frac{c}{d^3{e}^{2kd}}$ et ${\mu }_{k+1}\left(M\right)\ge \frac{c}{d^2}$, où $c\>0$ est une constante ne dépendant que de $V$, et $k$ est le nombre de composantes connexes de la partie mince de $M$. En outre, on montre que pour toute 3-variété hyperbolique $M_{\infty }$ de volume fini avec cusps, il existe une suite $M_i$ de remplissages compacts de $M_{\infty }$, de diamètre $d_i\to +\infty$ telle...

Soit $q$ dans $\mathbb{Z}$ tel que $\left|q\right|\ge 2$. Dans cette note, nous démontrons que si une fonction entière $f$ a une croissance assez lente et si $f(q^n+i{q}^m)\in \mathbb{Z}\left[i\right]$ pour $n,m\in \mathbb{N}$, alors $f$ est un polynôme.

On considère une extension finie $k$ de ${\mathbb{Q}}_p$, avec $p$ un nombre premier, $H$ un sous-groupe d’indice fini de $k^{*}$ et le groupe $\mathrm{SL}(n,k)$. Nous montrons que $\mathrm{SL}(n,k)$ admet un sous-groupe ${\mathbb{Q}}_p$-Zariski-dense dont toutes les matrices ont leur spectre inclus dans $H$ si et seulement si soit $-1$ est dans le sous-groupe $H$, soit $n$ n’est pas congru à 2 modulo 4.

Étant donnés $p\in [1,+\infty [$ et un arbre $T$ dont chaque sommet est de valence au moins $3$, on étudie la constante de Sobolev d’exposant $p$ de $T$, c’est-à-dire la plus petite constante ${\sigma }_p$ telle que pour tout $u\in {\ell }_p\left(T^0\right)$ on ait ${\parallel u\parallel }_p^p\le {\sigma }_p{\parallel \mathrm{d}u\parallel }_p^p$. Notre motivation vient de la recherche de graphes finis avec des petites constantes de Poincaré d’exposant $p$, en vue d’obtenir des exemples de groupes qui ont la propriété de point fixe sur les espaces $L^p$.