We establish q-analogs for four congruences involving central binomial coefficients. The q-identities necessary for this purpose are shown via the q-WZ method.

The article focuses on simple identities found for binomials, their divisibility, and basic inequalities. A general formula allowing factorization of the sum of like powers is introduced and used to prove elementary theorems for natural numbers. Formulas for short multiplication are sometimes referred in English or French as remarkable identities. The same formulas could be found in works concerning polynomial factorization, where there exists no single term for various identities. Their usability...

It is known that a set $H$ of positive integers is a Poincaré set (also called intersective set, see I. Ruzsa (1982)) if and only if ${dim}_{\mathscr{H}}\left(X_H\right)=0$, where $$X_H:=\left\{x=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n}:x_n\in \{0,1\},x_n{x}_{n+h}=0\text{for}\text{all}n\ge 1,h\in H\right\}$$ and ${dim}_{\mathscr{H}}$ denotes the Hausdorff dimension (see C. Bishop, Y. Peres (2017), Theorem 2.5.5). In this paper we study the set $X_H$ by replacing $2$ with $b>2$. It is surprising that there are some new phenomena to be worthy of studying. We study them and give several examples to explain our results.

À partir des formes de Jacobi $D_L(z,\varphi )$, on construit une somme de Dedekind elliptique. On obtient ainsi un analogue elliptique aux sommes multiples de Dedekind construites à partir des fonctions cotangentes, étudiées par D. Zagier. En outre, on établit une loi de réciprocité satisfaite par ces nouvelles sommes. Par une procédure de limite, on peut retrouver la loi de réciprocité remplie par les sommes multiples de Dedekind classiques. D’autre part, en les spécialisant en des paramètres de points de 2- division,...

Soit $q\in \mathbb{N}$, $q\ge 2$. Pour $n\in \mathbb{N}$, on note $s_q\left(n\right)$ la somme des chiffres de $n$ en base $q$. Nous donnons des majorations de sommes d’exponentielles de la forme$$G(x,y,\theta ;\alpha ,𝐡)=\sum _{x\<n\le x+y}exp\left(2i\pi ({\alpha }_1{s}_q\left(h_{1}n\right)+\cdots +{\alpha }_r{s}_q\left(h_{r}n\right)+\theta n)\right),$$pour $r\in {\mathbb{N}}^{*}$, $𝐡\in {\mathbb{N}}^{*r}$ et $\theta \in r$. De telles sommes ont déjà été étudiées dans le cas $r=1$ par Gelfond, et pour $r\ge 2$ entre autre par Coquet et Solinas. Nos résultats étendent le domaine de validité en $𝐡$ de ces précédents travaux pour $r\ge 2$, sont plus précis et ont l’avantage d’être uniformes en $x$ et $r$ et effectifs en $𝐡$. Ce contrôle soigneux des paramètres nous permet d’obtenir divers types d’applications....