We study the integral model of the Drinfeld modular curve $X_1\left(n\right)$ for a prime $n\in {𝔽}_q\left[T\right]$. A function field analogue of the theory of Igusa curves is introduced to describe its reduction mod $n$. A result describing the universal deformation ring of a pair consisting of a supersingular Drinfeld module and a point of order $n$ in terms of the Hasse invariant of that Drinfeld module is proved. We then apply Jung-Hirzebruch resolution for arithmetic surfaces to produce a regular model of $X_1\left(n\right)$ which, after contractions in...

For any prime number p > 3 we compute the formal completion of the Néron model of J0(p) in terms of the action of the Hecke algebra on the Z-module of all cusp forms (of weight 2 with respect to Γ0(p)) with integral Fourier development at infinity.

In this paper we study the structure and the degeneracies of the Mumford-Tate group $MT\left(M\right)$ of a 1-motive $M$ defined over $ℂ$. This group is an algebraic $\mathbb{Q}$- group acting on the Hodge realization of $M$ and endowed with an increasing filtration $W_{•}$. We prove that the unipotent radical of $MT\left(M\right)$, which is $W_{-1}\left(MT\left(M\right)\right)$, injects into a “generalized” Heisenberg group. We then explain how to reduce to the study of the Mumford-Tate group of a direct sum of 1-motives whose torus’character group and whose lattice are both of rank 1....

Les chtoucas locaux sont des analogues en égales caractéristiques des groupes $p$-divisibles — par exemple on leur associe un module de Tate, qui est un module libre sur l’anneau d’entiers d’un corps local $K$ de caractéristique positive. Nous associons à un chtouca local une structure de Hodge (ou, plus précisément, une structure de Hodge-Pink), ce qui induit un morphisme de périodes analogue à celui construit par Rapoport et Zink. Pour les structures de Hodge-Pink définies sur une extension finie...

Let ${\Phi }^{\lambda }$ be an algebraic family of Drinfeld modules defined over a field K of characteristic p, and let a,b ∈ K[λ]. Assume that neither a(λ) nor b(λ) is a torsion point for ${\Phi }^{\lambda }$ for all λ. If there exist infinitely many λ ∈ K̅ such that both a(λ) and b(λ) are torsion points for ${\Phi }^{\lambda }$, then we show that for each λ ∈ K̅, a(λ) is torsion for ${\Phi }^{\lambda }$ if and only if b(λ) is torsion for ${\Phi }^{\lambda }$. In the case a,b ∈ K, we prove in addition that a and b must be ${̅}_p$-linearly dependent.

Dans leur démonstration de la correspondance de Drinfeld-Langlands, Frenkel, Gaitsgory et Vilonen utilisent la transformation de Fourier géométrique, ce qui les oblige à travailler soit avec les faisceaux $\ell$-adiques en caractéristique $p\>0$, soit avec les $𝒟$-Modules en caractéristique $0$. En fait, ils n’utilisent cette transformation de Fourier géométrique que pour des faisceaux homogènes pour lesquels on s’attend à avoir une transformation de Fourier sur $\mathbb{Z}$. L’objet de cette note est de proposer une telle...