We study sets of non-typical points under the map $f_{\beta }\mapsto \beta x$ mod 1 for non-integer β and extend our results from [Fund. Math. 209 (2010)] in several directions. In particular, we prove that sets of points whose forward orbit avoid certain Cantor sets, and the set of points for which ergodic averages diverge, have large intersection properties. We observe that the technical condition β > 1.541 found in the above paper can be removed.

Dimostriamo che la costante che regola la distribuzione dei cosiddetti self numbers è un numero trascendente. Ciò precisa un risultato dimostrato in un precedente articolo dal medesimo titolo, ossia che tale costante sia irrazionale. Il metodo fa uso di una curiosa formula per l'espansione 2-adica di tale numero (già utilizzata nell'altro lavoro) e del profondo Teorema del Sottospazio.