Soit $K$ un corps commutatif. Chercher une série formelle $S(X,T)\in K\left[\right[X,T\left]\right]$ vérifiant $S(X+Y,T)/S(X,T)\in K\left[\right[Y,T\left]\right]$ conduit naturellement à étudier l’application $U\left(T\right)\to \left(U\right(T){)}^X$, $U\left(T\right)$ étant une unité de l’algèbre $K\left[\right[T\left]\right]$, et à ramener les solutions à la forme $S(X,T)=\sum _{n\ge 0}{H}_n\left(X\right)T^n$, $\left(H_n\right(X\left)\right)$ étant une suite de $K\left[X\right]$ vérifiant les “identités multinomiales” :$$\left(\mu \right)H_n(X_1+...+X_k)=\sum _{{\alpha }_1+...+{\alpha }_k=n}{H}_{{\alpha }_1}(X_1)...H_{{\alpha }_k}(X_k\left)\right(n,k\ge 0).$$Après mise à l’écart par des lemmes combinatoires du cas caract$\left(K\right)\>0$ (les solutions sont triviales), on caractérise de plusieurs manières les solutions. On peut les faire coïncider avec l’ensemble NW des suites de polynômes (ou séries génératrices...

Dans cet article, nous démontrons deux résultats. L’un concerne les séries $f^{\text{'}}\left(z\right)=\sum a\left(n\right)z^n/n!$ telles que $\sum a\left(n\right)x^n$ est une série algébrique. Soit $AE$ cet ensemble de fonctions. Si $f$ appartient à $AE$, et si $g\left(z\right)$ est un polynôme-exponentiel tel que $h\left(z\right)=f\left(z\right)/g\left(z\right)$ est entière, alors il existe un polynôme $P\left(z\right)$ tel que $P\left(z\right)h\left(z\right)$ appartienne à $AE$.L’autre résultat est parallèle au premier. Soit $\sum u\left(n\right)x^n$ une série algébrique à coefficients dans un corps $𝕂$ (qui est soit $𝕂$, soit un corps quadratique imaginaire). Soit $\sum v\left(n\right)x^n$ une série rationnelle à coefficients dans $𝕂$. Avec...