Soient $p$ un nombre premier et $K$ un corps $p$-adique à corps résiduel parfait (par exemple une extension finie de $F_p$) dont l’indice de ramification absolue est noté $e$. Afin d’étudier les « représentations semi-stables de $p$-torsion » de $G_K=Gal(\overline{K}/K)$, Breuil a défini pour tout entier positif $r\<p-1$ plusieurs catégories de $(\phi ,N)$-modules filtrés de torsion. Dans cet article, nous décrivons la structure de ces catégories dans le cas général (seul le cas $er\<p-1$ avait été étudié de façon systématique jusqu’à présent).

Let $L/K$ be an abelian extension of $p$-adic fields, and let $𝒪$ denote the valuation ring of $K$. We study ideals of the valuation ring of $L$ as integral representations of the Galois group $\mathrm{Gal}(L/K)$. Assuming $K$ is absolutely unramified we use techniques from the theory of factorisability to investigate which ideals are isomorphic to an $𝒪$-order in the group algebra $K\left[\mathrm{Gal}\right(l/K\left)\right]$. We obtain several general and also explicit new results.

We continue the examination of the stable reduction and fields of moduli of $G$-Galois covers of the projective line over a complete discrete valuation field of mixed characteristic $(0,p)$, where $G$ has a cyclic$p$-Sylow subgroup $P$ of order $p^n$. Suppose further that the normalizer of $P$ acts on $P$ via an involution. Under mild assumptions, if $f:Y\to {\mathbb{P}}^1$ is a three-point $G$-Galois cover defined over $\overline{\mathbb{Q}}$, then the $n$th higher ramification groups above $p$ for the upper numbering of the (Galois closure of the) extension $K/\mathbb{Q}$ vanish,...