Soit $G_{\mathbf{C}}$ un groupe de Lie complexe et $G_{\mathbf{R}}$ une forme réelle fermée de $G_{\mathbf{C}}$. Un couple $(G_{\mathbf{C}},G_{\mathbf{R}})$ est dit pseudo-convexe, s’il existe sur $G_{\mathbf{C}}$ une fonction régulière, strictement p.s.h., invariante par l’action de $G_{\mathbf{R}}$ et d’exhaustion sur $G_{\mathbf{C}}/G_{\mathbf{R}}$. On dit que $G_{\mathbf{R}}$ est à spectre imaginaire pur, si pour tout $X$ de Lie$\left(G_{\mathbf{R}}\right)$, les valeurs propres de ad$X$ sont imaginaires pures. Pour $G_{\mathbf{C}}$ à radical simplement connexe, cette dernière propriété équivaut à la pseudo-convexité de $(G_{\mathbf{C}},G_{\mathbf{R}})$. Pour $(G_{\mathbf{C}},G_{\mathbf{R}})$ pseudo-convexe et sous une hypothèse de sous-groupe discret,...

Soit $\Omega$ un domaine d’holomorphie de ${\mathbf{C}}^n$ et soit $\psi$ une fonction positive telle que pour tout $k\>0$ on ait$$\underset{z\in \Omega }{sup}\left\{\psi \right(z),[\min \mathrm{dist}(z,{\mathbf{C}}^n\setminus \Omega ),(1+|z{|}^2{)}^{-1/2}{]}^k\}\<\infty .$$On note $H^p(\Omega ,\psi )$, $1\le p\le \infty$, l’espace des fonctions $f$ holomorphes dans $\Omega$ telles que $\parallel f{\parallel }_p={\left({\int }_{\Omega }|f{|}^p\psi \right)}^{1/p}\<\infty$. On donne des conditions nécessaires et des conditions suffisantes pour l’approximation des fonctions de $H^p(\Omega ,\psi )$ par des fonctions holomorphes dans un ouvert contenant $\Omega$, ou par des polynômes. On obtient comme cas particulier les résultats suivants :a) les polynômes sont denses dans $H^p(\Omega ,\exp (-\Phi \left)\right)$ lorsque $\Omega$ est ouvert convexe (non borné) et $\Phi$ une fonction...

We study the singularities of plurisubharmonic functions using methods from convexity theory. Analyticity theorems for a refined Lelong number are proved.

We introduce the notion of the Shilov boundary for some subfamilies of upper semicontinuous functions on a compact Hausdorff space. It is by definition the smallest closed subset of the given space on which all functions of that subclass attain their maximum. For certain subfamilies with simple structure we show the existence and uniqueness of the Shilov boundary. We provide its relation to the set of peak points and establish Bishop-type theorems. As an application we obtain a generalization of...

We show that in the class of compact, piecewise $C^1$ curves K in ${ℝ}^n$, the semialgebraic curves are exactly those which admit a Bernstein (or a van der Corput-Schaake) type inequality for the derivatives of (the traces of) polynomials on K.

We survey variations of the Bergman kernel and their asymptotic behaviors at degeneration. For a Legendre family of elliptic curves, the curvature form of the relative Bergman kernel metric is equal to the Poincaré metric on ℂ 0,1. The cases of other elliptic curves are either the same or trivial. Two proofs depending on elliptic functions’ special properties and Abelian differentials’ Taylor expansions are discussed, respectively. For a holomorphic family of hyperelliptic nodal or cuspidal curves...

We study the B-regularity of some classes of domains in ℂⁿ. The results include a complete characterization of B-regularity in the class of Reinhardt domains, we also give some sufficient conditions for Hartogs domains to be B-regular. The last result yields sufficient conditions for preservation of B-regularity under holomorphic mappings.