The main result of this paper is the following: if a compact subset E of ${ℝ}^n$ is UPC in the direction of a vector $v\in S^{n-1}$ then E has the Markov property in the direction of v. We present a method which permits us to generalize as well as to improve an earlier result of Pawłucki and Pleśniak [PP1].

We study two known theorems regarding Hermitian matrices: Bellman's principle and Hadamard's theorem. Then we apply them to problems for the complex Monge-Ampère operator. We use Bellman's principle and the theory for plurisubharmonic functions of finite energy to prove a version of subadditivity for the complex Monge-Ampère operator. Then we show how Hadamard's theorem can be extended to polyradial plurisubharmonic functions.

In our earlier paper [CKZ], we proved that any plurisubharmonic function on a bounded hyperconvex domain in ${ℂ}^n$ with zero boundary values in a quite general sense, admits a plurisubharmonic subextension to a larger hyperconvex domain. Here we study important properties of its maximal subextension and give informations on its Monge-Ampère measure. More generally, given a quasi-plurisubharmonic function $\varphi$ on a given quasi-hyperconvex domain $D\subset X$ of a compact Kähler manifold $(X,\omega )$, with well defined Monge-Ampère...

Soit $K$ un compact polynomialement convexe de ${\mathbf{C}}^n$ et $V_K$ son “potentiel logarithmique extrémal” dans ${\mathbf{C}}^n$. Supposons que $K$ est régulier (i.e. $V_K$ continue) et soit $f$ une fonction holomorphe sur un voisinage de $K$. On construit alors une suite $\{{\mathbf{P}}_{\ell }{\}}_{\ell \ge 1}$ de polynôme de $n$ variables complexes avec deg$({\mathbf{P}}_{)}\le \ell$ pour $\ell \ge 1$, telle que l’erreur d’approximation ${\max }_{z\in K}|f\left(z\right)-P_{\ell }\left(z\right)|$ soit contrôlée de façon assez précise en fonction du “pseudorayon de convergence” de $f$ par rapport à $K$ et du degré de convergence $\ell$. Ce résultat est ensuite utilisé pour étendre...

Soit $X$ un schéma projectif intègre défini sur un corps de nombres $F$ ; soit $L$ un fibré en droites ample sur $X$ muni d’une métrique adélique semi-positive au sens de Zhang. Les résultats principaux de cet article sont :(1)Une formule qui calcule les hauteurs locales (relativement à $L$) d’un diviseur de Cartier sur $X$ comme des « mesures de Mahler » généralisées, c’est-à-dire les intégrales de fonctions de Green pour $D$ contre des mesures associées à $L$ ;(2)Un théorème d’équidistribution des points de « petite »...

We prove the existence of non-positively curved Kähler-Einstein metrics with cone singularities along a given simple normal crossing divisor of a compact Kähler manifold, under a technical condition on the cone angles, and we also discuss the case of positively-curved Kähler-Einstein metrics with cone singularities. As an application we extend to this setting classical results of Lichnerowicz and Kobayashi on the parallelism and vanishing of appropriate holomorphic tensor fields.