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Elliptic boundary value problem in Vanishing Mean Oscillation hypothesis

Maria Alessandra Ragusa (1999)

Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae

In this note the well-posedness of the Dirichlet problem (1.2) below is proved in the class H 0 1 , p ( Ω ) for all 1 < p < ∞ and, as a consequence, the Hölder regularity of the solution u . ℒ is an elliptic second order operator with discontinuous coefficients ( V M O ) and the lower order terms belong to suitable Lebesgue spaces.

Équations elliptiques non linéaires monotones avec un deuxième membre L 1 ou mesure

François Murat (1998)

Journées équations aux dérivées partielles

On considère le problème : - div a ( x , D u ) = f dans Ω , u = 0 sur ∂ Ω , où Ω est un ouvert borné de 𝐑 N , où a ( x , ξ ) est une fonction de Carathéodory, monotone en ξ , coercive, qui définit un opérateur dans W 0 1 , p ( Ω ) (avec 1 &lt; p ≤ N ), et où f appartient à L 1 ( Ω ) ou est une mesure bornée sur Ω . On introduit une nouvelle définition de la solution de ce problème, la notion de solution renormalisée (ou entropique), et on montre l’existence d’une telle solution et sa continuité par rapport à f . Quand f appartient à L 1 ( Ω ) , on montre en outre que cette solution est unique.

Étude de l’équation 1 2 Δ u - u μ = 0 où μ est une mesure positive

Denis Feyel, A. de La Pradelle (1988)

Annales de l'institut Fourier

On montre que les solutions faibles de l’équation Δ u - u μ = 0 , où μ est une mesure positive négligeant les polaires, vérifient une inégalité de Harnack. On s’occupe également des sursolutions dont on fait la représentation intégrale a l’aide d’une fonction de Green. Comme les solutions sont discontinues, on est amené à utiliser les formules probabilistes.

Existence and uniqueness results for solutions of nonlinear equations with right hand side in L 1

A. Fiorenza, C. Sbordone (1998)

Studia Mathematica

We prove an existence and uniqueness theorem for the elliptic Dirichlet problem for the equation div a(x,∇u) = f in a planar domain Ω. Here f ∈ L 1 ( Ω ) and the solution belongs to the so-called grand Sobolev space W 0 1 , 2 ) ( Ω ) . This is the proper space when the right hand side is assumed to be only L 1 -integrable. In particular, we obtain the exponential integrability of the solution, which in the linear case was previously proved by Brezis-Merle and Chanillo-Li.

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