On montre que la fonction maximale de Hardy-Littlewood est de type $(p,p)$ sur certains groupes de Lie et variétés de Cartan-Hadamard.

On étudie les mesures définies sur $\mathbf{T}=\mathbf{R}/2\pi \mathbf{Z}$ par les produits ${\prod }_{j\ge 0}(1+\mathrm{Re}(a_j{e}^{i{\lambda }_{j}x}\left)\right)$, $\left(\right|a_j|\le 1$, ${\lambda }_j$ entier, ${\lambda }_{j+1}/{\lambda }_j\ge 3)$. Étant données deux telles mesures on donne des conditions assurant soit qu’elles sont étrangères, soit que l’une est absolument continue par rapport à l’autre. On donne une minoration de la dimension de Hausdorff des boréliens qui portent une telle mesure. On montre que certaines séries convergent presque partout par rapport à ces mesures. On en déduit, par exemple, que les ensembles$$\left\{x\in [0,2\pi ];\underset{n\to +\infty }{lim}{n}^{-a}\sum _{j=1}^n{e}^{i{\lambda }_{j}x}=z\right\},(\frac{1}{2}\<\alpha \<1,z\in \mathbf{C})$$ont 1 pour dimension de Hausdorff. On étend...

On étudie la décroissance à l’infini des coefficients de Fourier des fonctions $2\pi$-périodiques intégrables. Soit en particulier ${\lambda }_n$ une suite lacunaire d’entiers : ${\lambda }_{n+1}\ge 3{\lambda }_n$. On appelle suite $k$-lacunaire associée la suite ${\mu }_N^k$ des entiers qui s’écrivent sous la forme $\pm {\lambda }_{n_1}\pm {\lambda }_{n_2}\pm \cdots \pm {\lambda }_{n_k}$, $n_1\>n_2\>\cdots \>n_k$. On montre que si ${\int }_0^{2\pi }\left|f\right|({\mathrm{Log}}^{+}\left|f\right|{)}^{k/2}dx$ est fini, il en est de même de ${\sum }_N|\widehat{f}({\mu }_N^k){|}^2$. D’autre part, si ${\lambda }_n$ satisfait à une condition plus restrictive, quel que soit $1\<p\le 2$, si ${\int }_0^{2\pi }|f{|}^{p}dx$ est fini il en est de même de ${\sum }_k(p-1){\sum }_N|\widehat{f}({\mu }_N^k){|}^2$. Ces résultats sont généralisés à d’autres groupes que $\mathbf{R}/2\pi \mathbf{Z}$, et à d’autres...

A set S of integers is called ε-Kronecker if every function on S of modulus one can be approximated uniformly to within ε by a character. The least such ε is called the ε-Kronecker constant, κ(S). The angular Kronecker constant is the unique real number α(S) ∈ [0,1/2] such that κ(S) = |exp(2πiα(S)) - 1|. We show that for integers m > 1 and d ≥ 1, $\alpha 1,m,...,m^{d-1}=(m^{d-1}-1)/\left(2(m^d-1)\right)$ and α1,m,m²,... = 1/(2m).

Christensen has defined a generalization of the property of being of Haar measure zero to subsets of (abelian) Polish groups which need not be locally compact; a recent paper of Hunt, Sauer, and Yorke defines the same property for Borel subsets of linear spaces, and gives a number of examples and applications. The latter authors use the term “shyness” for this property, and “prevalence” for the complementary property. In the present paper, we construct a number of examples of non-shy Borel sets...

The aim of this work is to study the existence and uniqueness of solutions of the fractional integro-differential equations $\frac{d}{dt}[x\left(t\right)-L\left(x_t\right)]=A[x\left(t\right)-L\left(x_t\right)]+G\left(x_t\right)+\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\int }_{-\infty }^t{(t-s)}^{\alpha -1}\left({\int }_{-\infty }^{s}a(s-\xi )x\left(\xi \right)d\xi \right)ds+f\left(t\right)$, ($\alpha >0$) with the periodic condition $x\left(0\right)=x\left(2\pi \right)$, where $a\in L^1\left({ℝ}_{+}\right)$ . Our approach is based on the R-boundedness of linear operators $L^p$-multipliers and UMD-spaces.

Let G be a compact abelian group with dual group Γ and let ε > 0. A set E ⊂ Γ is a “weak ε-Kronecker set” if for every φ:E → there exists x in the dual of Γ such that |φ(γ)- γ(x)| ≤ ε for all γ ∈ E. When ε < √2, every bounded function on E is known to be the restriction of a Fourier-Stieltjes transform of a discrete measure. (Such sets are called I₀.) We show that for every infinite set E there exists a weak 1-Kronecker subset F, of the same cardinality as E, provided there are not “too many”...