Let G be a real connected Lie group with polynomial volume growth endowed with its Haar measuredx. Given a C² positive bounded integrable function M on G, we give a sufficient condition for an L² Poincaré inequality with respect to the measure M(x)dx to hold on G. We then establish a nonlocal Poincaré inequality on G with respect to M(x)dx. We also give analogous Poincaré inequalities on Riemannian manifolds and deal with the case of Hardy inequalities.

Un groupe localement compact $G$ muni d’une fonction-longueur $L$ a la propriété $\left(DR\right)$ par rapport à $L$ si toute fonction à décroissance rapide sur $G$ définit un convoluteur borné sur $L^2\left(G\right)$. Nous donnons une condition suffisante assez générale pour que le couple $(G,L)$ ait la propriété $\left(DR\right)$. Pour un tel couple, nous caractérisons les fonctions de type positif sur $G$ faiblement associées à la représentation régulière gauche et, dans le cas discret, nous considérons les propriétés d’approximation de l’algèbre de Fourier...

On classifie les orbites de $H$ sur l’immeuble de Bruhat-Tits de $G$ pour trois paires sphériques $(G,H)$ de groupes $p$-adiques classiques.

Let L be a positive Rockland operator of homogeneous degree d on a graded homogeneous group G and let $p_t$ be the convolution kernels of the semigroup generated by L. We prove that if τ(x) is a Riemannian distance of x from the unit element, then there are constants c>0 and C such that $|p_1\left(x\right)|\le Cexp(-c\tau {\left(x\right)}^{d/(d-1)})$. Moreover, if G is not stratified, more precise estimates of $p_1$ at infinity are given.

Dans cet article, en utilisant les algèbres de Jordan euclidiennes, nous étudions l’espace de Hardy $H^2\left(\Xi \right)$ d’un espace symétrique de type Cayley $ℳ=G/H$. Nous montrons que le noyau de Cauchy-Szegö de $H^2\left(\Xi \right)$ s’exprime comme somme d’une série faisant intervenir la fonction $c$ de Harish-Chandra de l’espace symétrique riemannien $D=G/K$, la fonction $c$ de l’espace symétrique $c$-dual $𝒩$ de $ℳ$ et les fonctions sphériques de l’espace symétrique ordonné $𝒩$. Nous établissons, dans le cas où la dimension de l’algèbre de Jordan associée...

For $\varphi$ a normalized positive definite function on a locally compact abelian group $G$, let ${\pi }_{\varphi }$ be the unitary representation associated to $\varphi$ by the GNS construction. We give necessary and sufficient conditions for the vanishing of 1-cohomology $H^1(G,{\pi }_{\varphi })$ and reduced 1-cohomology ${\overline{H}}^1(G,{\pi }_{\varphi })$. For example, ${\overline{H}}^1(G,{\pi }_{\varphi })=0$ if and only if either $\text{Hom}(G,ℂ)=0$ or ${\mu }_{\varphi }\left(1_G\right)=0$, where $1_G$ is the trivial character of $G$ and ${\mu }_{\varphi }$ is the probability measure on the Pontryagin dual $\widehat{G}$ associated to $\varphi$ by Bochner’s Theorem. This streamlines an argument of Guichardet (see Theorem...

The Banach spaces $\Lambda (A,B,X,G)$ defined in this paper consist essentially of those elements of $L^1\left(G\right)$ ($G$ being a locally compact group) which can in a certain sense be well approximated by functions with compact support. The main result of this paper is the fact that in many cases $\Lambda (A,B,X,G)$ becomes a Banach convolution algebra. There exist many natural examples. Furthermore some theorems concerning inclusion results and the structure of these spaces are given. In particular we prove that simple conditions imply the existence...