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Nombres de Bell et somme de factorielles

Daniel Barsky, Bénali Benzaghou (2004)

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

Dj. Kurepa a conjecturé que pour tout nombre premier impair, p , la somme ∑ n = 0 p - 1 n ! n’est pas divisible par p . Cette somme est reliée aux nombres de Bell qui apparaissent en combinatoire énumérative. Nous donnons une expression du n -ième nombre de Bell modulo p comme la trace de la puissance n -ième d’un élément fixe dans l’extension d’Artin-Schreier de degré p du corps premier à p éléments. Cette expression permet de démontrer la conjecture de Kurepa en la ramenant à un problème d’algèbre linéaire.

Nombres de Pisots, matrices primitives et bêta-conjugués

Anne Bertrand-Mathis (2012)

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

Soit β un nombre de Pisot ; nous montrons que pour tout entier n assez grand il existe une matrice carrée à coefficients positifs ou nuls dont l’ordre est égal au degré de β et dont β n est valeur propre.Soit β = a 1 / β + a 2 / β 2 + ⋯ + a n / β n + ⋯ le β -développement de β  ; si β est un nombre de Pisot, alors la suite ( a n ) n ≥ 1 est périodique après un certain rang n 0 (pour n ≥ n 0 , a n + k = a n ) et le polynôme X n 0 + k - ( a 1 X n 0 + k - 1 + ⋯ + a n 0 + k ) - ( X n 0 - ( a 1 X n 0 + ⋯ + a n 0 ) ) est appelé polynôme de Parry. Nous montrons qu’il existe un ensemble relativement dense d’entiers n tels que le polynôme minimal de β n est égal à son polynôme...

Nombres de racines d’un polynôme entier modulo q

Monique Branton, Olivier Ramaré (1998)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

Nous montrons que l’ensemble des racines modulo une puissance d’un nombre premier d’un polynôme à coefficients entiers de degré d est une union d’au plus d progressions arithmétiques de modules assez grands. Nous en déduisons une majoration du nombre de ses racines dans un intervalle réel court.

Nombres normaux

Anne Bertrand-Mathis (1996)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

Nous rassemblons divers résultats sur les nombres normaux et en déduisons de nouveaux résultats.

Nombres normaux dans diverses bases

Anne Bertrand-Mathis (1995)

Annales de l'institut Fourier

En s’inspirant d’un article de Feldman et Smorodinsky on étudie l’apparition d’un bloc de chiffres fixé dans le θ -développement de β n . On montre que si β et θ sont des nombres de Pisot non équivalents, les ensembles des nombres normaux au sens des chiffres pour β et θ sont différents, et que si θ est un Pisot et β un entier algébrique non équivalent à θ , les ensembles des nombres géométriquement normaux relativement à β et θ sont distincts.

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