La théorie de M. Sato et T. Shintani associe à toute forme réelle d’un espace préhomogène irréductible régulier dont le groupe est réductif, une fonction zêta qui vérifie une équation fonctionnelle remarquable. Dans cet article, nous classifions les formes réelles infinitésimales des espaces préhomogènes irréductibles de type parabolique. Cette classification est obtenue en termes de diagrammes de Satake à poids.

In the first section of this paper we give a characterization of those closed convex cones (wedges) $W$ in the Lie algebra $sl(2,\mathbf{R}{)}^n$ which are invariant under the maximal compact subgroup of the adjoint group and which are controllable in the associated simply connected Lie group $Sl(2,\mathbf{R}{)}^{n^{\sim }}$, i.e., for which the subsemigroup $S=(expW)$ generated by the exponential image of $W$ agrees with the whole group $G$ (Theorem 13). In Section 2 we develop some algebraic tools concerning real root decompositions with respect to compactly...

This paper investigates a universal PBW-basis and a minimal set of generators for the Hall algebra $\mathscr{H}\left(C_2\left(𝒫\right)\right)$, where $C_2\left(𝒫\right)$ is the category of morphisms between projective objects in a finitary hereditary exact category $𝒜$. When $𝒜$ is the representation category of a Dynkin quiver, we develop multiplication formulas for the degenerate Hall Lie algebra $ℒ$, which is spanned by isoclasses of indecomposable objects in $C_2\left(𝒫\right)$. As applications, we demonstrate that $ℒ$ contains a Lie subalgebra isomorphic to the central extension...

L’indice d’une algèbre de Lie algébrique complexe est la codimension minimale de ses orbites coadjointes. Si $𝔤$ est semi-simple, son indice, $ind𝔤$, est égal à son rang, $rg𝔤$. Le but de cet article est d’établir une formule générale pour l’indice de $𝔫\left({𝔤}^e\right)$ pour $e$ nilpotent, où $𝔫\left({𝔤}^e\right)$ est le normalisateur dans $𝔤$ du centralisateur ${𝔤}^e$ de $e$. Plus précisément, on obtient le résultat suivant, conjecturé par D. Panyushev :$$ind𝔫\left({𝔤}^e\right)=rg𝔤-dim𝔷\left({𝔤}^e\right),$$où $𝔷\left({𝔤}^e\right)$ est le centre de ${𝔤}^e$. Panyushev obtient l’inégalité $ind𝔫\left({𝔤}^e\right)\ge rg𝔤-dim𝔷\left({𝔤}^e\right)$ dans Panyushev 2003 et on montre que la maximalité...

Let $𝔤$ be a complex, semisimple Lie algebra, with an involutive automorphism $\vartheta$ and set $𝔨=\mathrm{Ker}(\vartheta -I)$, $𝔭=\mathrm{Ker}(\vartheta +I)$. We consider the differential operators, $𝒟(𝔭{)}^K$, on $𝔭$ that are invariant under the action of the adjoint group $K$ of $𝔨$. Write $\tau :𝔨\to \mathrm{Der}𝒪\left(𝔭\right)$ for the differential of this action. Then we prove, for the class of symmetric pairs $(𝔤,𝔨)$ considered by Sekiguchi, that $\left\{d\in 𝒟\left(𝔭\right):d\left(𝒪(𝔭{)}^K\right)=0\right\}=𝒟\left(𝔭\right)\tau \left(𝔨\right)$. An immediate consequence of this equality is the following result of Sekiguchi: Let $({𝔤}_0,{𝔨}_0)$ be a real form of one of these symmetric pairs $(𝔤,𝔨)$, and suppose that $T$ is a $K_0$-invariant...

We present a description of irreducible tensor representations of general linear Lie superalgebras in terms of generalized determinants in the symmetric and exterior superalgebras of a superspace over a field of characteristic zero.