Dans cet exposé, on décrit un travail effectué sous la direction de J. Sjöstrand. On prouve des majorations et des minorations du nombre de résonances d’un opérateur de Schrödinger semi-classique $P=-h^2\Delta +V\left(x\right)$ dans des petits disques centrés en $E_0\>0$, une valeur critique de $p(x,\xi )={\xi }^2+V\left(x\right)$.

We analyse the spectral phase diagram of Schrödinger operators $T+\lambda V$ on regular tree graphs, with $T$ the graph adjacency operator and $V$ a random potential given by $iid$ random variables. The main result is a criterion for the emergence of absolutely continuous $\left(ac\right)$ spectrum due to fluctuation-enabled resonances between distant sites. Using it we prove that for unbounded random potentials $ac$ spectrum appears at arbitrarily weak disorder $(\lambda \ll 1)$ in an energy regime which extends beyond the spectrum of$\sim T$. Incorporating...

Nous démontrons dans cet article que le système MHD tridimensionnel à densité et viscosité variables est localement bien posé lorsque $({{\rho }_0}^{-1}-1,u_0,B_0)\in {\dot{B}}_{p1}^{\frac{3}{p}}\left({ℝ}^3\right)\times {\dot{B}}_{p1}^{\frac{3}{p}-1}\left({ℝ}^3\right)\times {\dot{B}}_{p1}^{\frac{3}{p}-1}\left({ℝ}^3\right),$ pour $p\in ]1,3]$ et la densité initiale est proche d’une constante strictement positive. Nous démontrons également un résultat d’existence et d’unicité dans l’espace de Sobolev $H^{\frac{3}{2}+\alpha }\left({ℝ}^3\right)\times H^{\frac{3}{2}-1+\alpha }\left({ℝ}^3\right)\times H^{\frac{3}{2}-1+\alpha }\left({ℝ}^3\right)$ pour $\alpha \>0,$ sans aucune condition de petitesse sur la densité.

La compréhension du passage des équations de la mécanique des fluides compressibles aux équations incompressibles a fait de grands progrès ces vingt dernières années. L’objectif de cet exposé est de présenter l’évolution des méthodes mathématiques mises en œuvre pour étudier ce passage à la limite, depuis les travaux de S. Klainerman et A. Majda dans les années quatre–vingts, jusqu’à ceux récents de G. Métivier et S. Schochet (pour les équations non isentropiques). Suivant les conditions initiales...