In this note, we study formal deformations of derived representations of the principal series representations of $\mathrm{SL}(2,ℝ)$. In particular, we recover all the representations of the derived principal series by deforming one of them. Similar results are also obtained for $\mathrm{SL}(2,ℂ)$.

Let $K$ be a compact Lie group acting in a Hamiltonian way on a symplectic manifold $(M,\Omega )$ which is pre-quantized by a Kostant-Souriau line bundle. We suppose here that the moment map $\Phi$ is proper so that the reduced space $M_{\mu }:={\Phi }^{-1}(K·\mu )/K$ is compact for all $\mu$. Then, we can define the “formal geometric quantization” of $M$ as$${𝒬}_K^{-\infty }\left(M\right):=\sum _{\mu \in \widehat{K}}𝒬\left(M_{\mu }\right)V_{\mu }^K.$$The aim of this article is to study the functorial properties of the assignment $(M,K)\to {𝒬}_K^{-\infty }\left(M\right)$.

We review topological properties of Kähler and symplectic manifolds, and of their odd-dimensional counterparts, coKähler and cosymplectic manifolds. We focus on formality, Lefschetz property and parity of Betti numbers, also distinguishing the simply-connected case (in the Kähler/symplectic situation) and the b1 = 1 case (in the coKähler/cosymplectic situation).

Let $M$ be a differential manifold. Let $\Phi$ be a Drinfeld associator. In this paper we explain how to construct a global formality morphism starting from $\Phi$. More precisely, following Tamarkin’s proof, we construct a Lie homomorphism “up to homotopy" between the Lie algebra of Hochschild cochains on $C^{\infty }\left(M\right)$ and its cohomology $(\Gamma (M,\Lambda TM),{[-,-]}_S$). This paper is an extended version of a course given 8 - 12 March 2004 on Tamarkin’s works. The reader will find explicit examples, recollections on $G_{\infty }$-structures, explanation of the...

We study the formation of singularities for hypersurfaces evolving by mean curvature. After recalling the basic properties of the flow and the classical results about curves and convex surfaces, we give account of some recent developments of the theory for the case of surfaces with positive mean curvature. We show that for such surfaces we can obtain a–priori estimates on the principal curvatures which enable us to classify the singular profiles by the use of rescaling techniques.

On donne une construction de formes de contact sur toute variété décomposable en somme connexe de variétés de contact en toute dimension.

2000 Mathematics Subject Classification: 37J55, 53D10, 53D17, 53D35.In this paper, we study contact forms on a 3-manifold having a common Reeb vector field R. The main result is that when the contact forms induce the same orientation, they are diffeomorphic.

Par une métrique mixte on comprend une métrique définie dans un domaine du plan, changeant de caractère – sur une région elle est riemannienne, sur une autre lorentzienne. On se place dans un point appartenant à la frontière entre ces deux régions et on cherche une forme locale « la plus simple » de notre métrique – un problème analogue à l’existance des coordonnées isothermes dans le cas classique, riemannien ou lorentzien. On montre que génériquement on peut se ramener à un seul modèle conforme...

Nous établissons des formes normales pour les champs conformes sur une variété pseudo-riemannienne, au voisinage d’une singularité. Sur une variété lorentzienne analytique, nous montrons qu’ou bien un tel champ est linéarisable au voisinage de la singularité, ou bien la variété est conformément plate. Dans tous les cas, le champs est localement conjugué à une forme normale sur un espace modèle. Pour des métriques lisses de signature quelconque, nous obtenons un résultat analogue sous l’hypothèse...

The 2-forms, Ω and Ω' on a manifold M with values in vector bundles ξ --> M and ξ' --> M are equivalent if there exist smooth fibered-linear mapsξ --> ξ' and W: ξ --> ξ' with Ω' = UΩ and Ω = WΩ'. It is shown that an ordinary 2-form equivalent to the curvature of a linear connection has locally a non-vanishing integrating factor at each point in the interior of the set rank (ω) = 2 or in the set rank (ω) > 2. Under favorable conditions the same holds at points where...

La systole $k$-dimensionnelle d’une variété riemannienne de dimension $n$ a été introduite par M. Berger en 1972. Le problème de la souplesse intersystolique (ou $(k,n-k)$-souplesse) d’une variété $M$ est l’étude de la borne supérieure du produit de deux systoles de dimensions complémentaires $k$ et $n-k$ si on change la métrique sur $M$ dans la classe des métriques de volume $1$. La souplesse intersystolique de $M$ signifie que cette borne supérieure est égale à $\infty$. Quelques résultats particuliers dans cette direction ont...