On étudie différentes propriétés d’approximation pour des espaces homogènes $X$ (à stabilisateur fini) de ${\mathrm{GL}}_n$ sur un corps de nombres. On discute également du lien avec le problème de Galois inverse et on établit une formule pour le groupe de Brauer non ramifié de $X$.

Soient $K$ un corps global, $T$ un $K$-tore, $S$ un ensemble fini de places de $K$. On note $K_v$ le complété de $K$ en $v\in S$. Soit $T\left(K\right)$, resp. $T\left(K_v\right)$, le groupe des points $K$-rationnels, resp. $K_v$-rationnels, de $T$. Notons $T\left(O_v\right)\subset T\left(K_v\right)$ le sous-groupe compact maximal. Nous montrons que pour $T$ et $S$ convenables l’application $T\left(K\right)\to {\prod }_{v\in S}T\left(K_v\right)/T\left(O_v\right)$ induite par l’application diagonale n’est pas surjective. Cela implique que pour $v$ convenable le groupe $T\left(O_v\right)$ ne couvre pas forcément toutes les classes de $R$-équivalence de $T\left(K_v\right)$. Lorsque $K$ est un corps de fonctions d’une variable...

Soit $K$ un corps commutatif. Chercher une série formelle $S(X,T)\in K\left[\right[X,T\left]\right]$ vérifiant $S(X+Y,T)/S(X,T)\in K\left[\right[Y,T\left]\right]$ conduit naturellement à étudier l’application $U\left(T\right)\to \left(U\right(T){)}^X$, $U\left(T\right)$ étant une unité de l’algèbre $K\left[\right[T\left]\right]$, et à ramener les solutions à la forme $S(X,T)=\sum _{n\ge 0}{H}_n\left(X\right)T^n$, $\left(H_n\right(X\left)\right)$ étant une suite de $K\left[X\right]$ vérifiant les “identités multinomiales” :$$\left(\mu \right)H_n(X_1+...+X_k)=\sum _{{\alpha }_1+...+{\alpha }_k=n}{H}_{{\alpha }_1}(X_1)...H_{{\alpha }_k}(X_k\left)\right(n,k\ge 0).$$Après mise à l’écart par des lemmes combinatoires du cas caract$\left(K\right)\>0$ (les solutions sont triviales), on caractérise de plusieurs manières les solutions. On peut les faire coïncider avec l’ensemble NW des suites de polynômes (ou séries génératrices...