Etant donnés deux entiers $P,Q,$impairs, premiers entre eux et tels que $P^2-4Q\>0$, on étudie les suites ${\left(x_n\right)}_{n\ge 0}$ d’entiers positifs telles que $x_{n+1}=P{x}_n-Q{x}_{n-1}$. Elles généralisent les suites classiques de Lucas $\left(U_n(P,Q)\right)$ et $(V_n(P,Q)$. Les propriétés des diviseurs premiers de $V_n(P,Q)$ pour $n=3·2^j$ donnent, via le calcul des Symboles de Legendre de certains $x_n$ modulo ceux-ci, une méthode efficace de détermination des carrés (resp. doubles, triples, ... de carrés) dans une suite $\left(x_n\right)$. Ceci est appliqué aux équations Diophantiennes de la forme $x^4-E{y}^2=k$, $x^2-E{y}^4=k$ lorsque $E$ est la...

Y. Bilu, G. Hanrot et P.M. Voutier ont montré que pour toute paire de Lucas ou de Lehmer $(\alpha ,\beta )$ et pour tout $n\>30$, les entiers, dits nombres de Lucas (ou de Lehmer) $u_n(\alpha ,\beta )$ admettaient un diviseur primitif. L’objet de ce papier est de compléter la liste des nombres de Lucas et de Lehmer défectueux donnée par P.M. Voutier, afin d’en avoir une liste exhaustive.

For $m\in$, $(m,6)=1$, it is proved the relations between the sums $$W(m,s)=\sum _{i=1,(i,m)=1}^{m-1}{i}^{-s},s\in ,$$ and Bernoulli numbers. The result supplements the known theorems of C. Leudesdorf, N. Rama Rao and others. As the application it is obtained some connections between the sums $W(m,s)$ and Agoh’s functions, Wilson quotients, the indices irregularity of Bernoulli numbers.

Let $a_{d-1},\cdots ,a_0\in \mathbb{Z}$, where $d\in \mathbb{N}$ and $a_0\ne 0$, and let $X={\left(x_n\right)}_{n=1}^{\infty }$ be a sequence of integers given by the linear recurrence $x_{n+d}=a_{d-1}{x}_{n+d-1}+\cdots +a_0{x}_n$ for $n=1,2,3,\cdots$. We show that there are a prime number $p$ and $d$ integers $x_1,\cdots ,x_d$ such that no element of the sequence $X={\left(x_n\right)}_{n=1}^{\infty }$ defined by the above linear recurrence is divisible by $p$. Furthermore, for any nonnegative integer $s$ there is a prime number $p\ge 3$ and $d$ integers $x_1,\cdots ,x_d$ such that every element of the sequence $X={\left(x_n\right)}_{n=1}^{\infty }$ defined as above modulo $p$ belongs to the set $\{s+1,s+2,\cdots ,p-s-1\}$.