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Dj. Kurepa a conjecturé que pour tout nombre premier impair, $p$ , la somme $\sum_{n = 0}^{p - 1} n!$ n’est pas divisible par $p$ . Cette somme est reliée aux nombres de Bell qui apparaissent en combinatoire énumérative. Nous donnons une expression du $n$ -ième nombre de Bell modulo $p$ comme la trace de la puissance $n$ -ième d’un élément fixe dans l’extension d’Artin-Schreier de degré $p$ du corps premier à $p$ éléments. Cette expression permet de démontrer la conjecture de Kurepa en la ramenant à un problème d’algèbre linéaire.

Nombres de Hurwitz et unités elliptiques. Un critère de régularité pour les extensions abéliennes d'un corps quadratique imaginaire

Gilles Robert (1978)

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure

Nombres de Pisots, matrices primitives et bêta-conjugués

Anne Bertrand-Mathis (2012)

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

Soit $β$ un nombre de Pisot ; nous montrons que pour tout entier $n$ assez grand il existe une matrice carrée à coefficients positifs ou nuls dont l’ordre est égal au degré de $β$ et dont $β^{n}$ est valeur propre.Soit $β = a_{1} / β + a_{2} / β^{2} + \dots + a_{n} / β^{n} + \dots$ le $β$ -développement de $β$ ; si $β$ est un nombre de Pisot, alors la suite ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ est périodique après un certain rang $n_{0}$ (pour $n \geq n_{0}$ , $a_{n + k} = a_{n}$ ) et le polynôme $X^{n_{0} + k} - (a_{1} X^{n_{0} + k - 1} + \dots + a_{n_{0} + k}) - (X^{n_{0}} - (a_{1} X^{n_{0}} + \dots + a_{n_{0}}))$ est appelé polynôme de Parry. Nous montrons qu’il existe un ensemble relativement dense d’entiers $n$ tels que le polynôme minimal de $β^{n}$ est égal à son polynôme...

Nombres de racines d’un polynôme entier modulo $q$

Monique Branton, Olivier Ramaré (1998)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

Nous montrons que l’ensemble des racines modulo une puissance d’un nombre premier d’un polynôme à coefficients entiers de degré $d$ est une union d’au plus $d$ progressions arithmétiques de modules assez grands. Nous en déduisons une majoration du nombre de ses racines dans un intervalle réel court.

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