We give several different $q$-analogues of the following two congruences of Z.-W. Sun: $$\sum _{k=0}^{(p^r-1)/2}\frac{1}{8^k}\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{2k}{k}\right)\equiv \left(\frac{2}{p^r}\right)(mod{p}^2)\text{and}\sum _{k=0}^{(p^r-1)/2}\frac{1}{{16}^k}\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{2k}{k}\right)\equiv \left(\frac{3}{p^r}\right)(mod{p}^2),$$ where $p$ is an odd prime, $r$ is a positive integer, and $\left(\frac{m}{n}\right)$ is the Jacobi symbol. The proofs of them require the use of some curious $q$-series identities, two of which are related to Franklin’s involution on partitions into distinct parts. We also confirm a conjecture of the latter author and Zeng in 2012.

We present a q-analogue for the fact that the nth Stern polynomial Bₙ(t) in the sense of Klavžar, Milutinović and Petr [Adv. Appl. Math. 39 (2007)] is the numerator of a continued fraction of n terms. Moreover, we give a combinatorial interpretation for our q-analogue.

We prove the “Möbius and Nilsequences Conjecture” for nilsystems of step 1 and 2. This paper forms a part of our program to generalise the Hardy-Littlewood method so as to handle systems of linear equations in primes.

Soit $c\>1$, $p$ un nombre premier et $𝒜$ une partie de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ de cardinal supérieur à $c\sqrt{p}$ telle que pour tout sous-ensemble non vide $ℬ$ de $𝒜$, on a ${\sum }_{b\in ℬ}b\ne 0$. On montre qu’il existe $s$ premier à $p$ tel que l’ensemble $s.𝒜$ est très concentré autour de l’origine et qu’il est presque entièrement composé d’éléments de partie fractionnaire positive. Plus précisément, on a$$\sum _{a\in 𝒜}∥\frac{sa}{p}∥\<1+O(p^{-1/4}lnp)\text{et}\sum _{\begin{array}{c}a\in 𝒜,\\ \{sa/p\}\ge 1/2\end{array}}∥\frac{sa}{p}∥=O(p^{-1/4}lnp).$$On montre également que les termes d’erreurs ne peuvent être remplacés par $o\left(p^{-1/2}\right)$.

La récente découverte des “quasicristaux” et leurs liens avec les pavages de Penrose ont entraîné un regain d'intérêt pour les pavages apériodiques du plan. Nous montrons ici que le pavage régulier de Robinson est engendré par un automate fini bidimensionnel, et qu'il donne une généralisation à deux dimensions du pliage de papier.