Let $K$ be a finite field of characteristic $p$. Let $K\left(\right(x\left)\right)$ be the field of formal Laurent series $f\left(x\right)$ in $x$ with coefficients in $K$. That is,$$f\left(x\right)=\sum _{n=n_0}^{\infty }{f}_n{x}^n$$with $n_0\in 𝐙$ and $f_n\in K(n=n_0,n_0+1,\cdots )$. We discuss the distribution of ${\left(\left\{f^m\right\}\right)}_{m=0,1,2,\cdots }$ for $f\in K\left(\right(x\left)\right)$, where$$\left\{f\right\}:=\sum _{n=0}^{\infty }{f}_n{x}^n\in K\left[\left[x\right]\right]$$denotes the nonnegative part of $f\in K\left(\right(x\left)\right)$. This is a little different from the real number case where the fractional part that excludes constant term (digit of order 0) is considered. We give an alternative proof of a result by De Mathan obtaining the generic distribution for $f$ with $f_n\ne 0$ for some $n\<0$. This distribution is...

Soit $u=(u_n{)}_{n\in \mathbf{N}}$ une suite strictement croissante d’entiers reconnaissable par un automate fini. Nous montrons qu’une condition nécessaire et suffisante pour que l’ensemble normal associé a $u$ soit exactement $\mathbf{R}\setminus \mathbf{Q}$ est que l’un au moins des sommets qui reconnaît la suite $u$ soit précédé dans le graphe de l’automate par un sommet possédant au moins deux circuits fermés distincts. Cette condition peut se traduire quantitativement en disant que la suite $u$ doit être plus “dense” que toute suite exponentielle.