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A model of the Brownian motion defined in terms of the natural divisors is proposed and weak convergence of the related measures in the space [0,1] is proved. An analogon of the Erdös arcsine law, known for the prime divisors [6] (see [14] for the proof), is obtained. These results together with the author’s investigation [15] extend the systematic study [9] of the distribution of natural divisors. Our approach is based upon the functional limit theorems of probability theory.
Nous rassemblons divers résultats sur les nombres normaux et en déduisons de nouveaux résultats.
En s’inspirant d’un article de Feldman et Smorodinsky on étudie l’apparition d’un bloc de chiffres fixé dans le -développement de . On montre que si et sont des nombres de Pisot non équivalents, les ensembles des nombres normaux au sens des chiffres pour et sont différents, et que si est un Pisot et un entier algébrique non équivalent à , les ensembles des nombres géométriquement normaux relativement à et sont distincts.
Nous inspirant de la construction de Champernowne d’un nombre normal en base 10 nous construisons un ensemble de nombres “self-normaux“ au sens de Schmeling ; cet ensemble est non dénombrable et dense dans .
A new proof of Maxfield’s theorem is given, using automata and results from Symbolic Dynamics. These techniques permit to prove that points that are near normality to base (resp. ) are also near normality to base (resp. ), and to study genericity preservation for non Lebesgue measures when going from one base to the other. Finally, similar results are proved to bases the golden mean and its square.
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