La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer donne des estimations fines sur le rang de certaines variétés abéliennes définies sur $\mathbf{Q}$. Dans le cas des jacobiennes des courbes modulaires, ce problème est équivalent à l’estimation de l’ordre d’annulation en $1/2$ des fonctions $L$ des formes modulaires, et a été traité inconditionnellement par Kowalski, Michel et VanderKam. L’objet de ce travail est d’étendre cette approche dans le cas d’un corps totalement réel arbitraire, ce qui nécessite l’utilisation de...

Let λ(n) be the Liouville function. We find a nontrivial upper bound for the sum $$\sum _{X⩽n⩽2X}\lambda \left(n\right)e^{2\pi i\alpha \sqrt{n}},0\ne \alpha \in ℝ$$ The main tool we use is Vaughan’s identity for λ(n).

Let $K=\mathbb{Q}\left(\sqrt{-D}\right)$ be an imaginary quadratic field, and denote by $h$ its class number. It is shown that there is an absolute constant $c\>0$ such that for sufficiently large $D$ at least $c·h{\prod }_{p\mid D}(1-p^{-1})$ of the $h$ distinct $L$-functions $L_K(s,\chi )$ do not vanish at the central point $s=1/2$.

Let $E$ be a modular elliptic curve over $\mathbb{Q}$$L^{\left(n\right)}...$