Une notion importante qui a émergé de la théorie analytique des fonctions $L$ ces dernières années, est celle de famille. Par exemple les familles de fonctions $L$ interviennent naturellement dans le modèle probabiliste des matrices aléatoires de Katz/Sarnak qui vise à prédire la répartition des zéros des fonctions $L$. L’analyse des fonctions $L$ en famille intervient également dans la résolution (inconditionnelle) de divers problèmes ayant une signification arithmétique profonde, tel que le problème de...

We study Mellin transforms $\widehat{N}\left(s\right)={\int }_{1-}^{\infty }{x}^{-s}dN\left(x\right)$ for which $N\left(x\right)-x$ is periodic with period $1$ in order to investigate ‘flows’ of such functions to Riemann’s $\zeta \left(s\right)$ and the possibility of proving the Riemann Hypothesis with such an approach. We show that, excepting the trivial case where $N\left(x\right)=x$, the supremum of the real parts of the zeros of any such function is at least $\frac{1}{2}$.We investigate a particular flow of such functions ${\left\{\widehat{N_{\lambda }}\right\}}_{\lambda \ge 1}$ which converges locally uniformly to $\zeta \left(s\right)$ as $\lambda \to 1$, and show that they exhibit features similar to $\zeta \left(s\right)$. For example, $\widehat{N_{\lambda }}\left(s\right)$...

Ce papier présente les récents progrès concernant les fonctions zêta des hauteurs associées à la conjecture de Manin. En particulier, des exemples où on peut prouver un prolongement méromorphe de ces fonctions sont détaillés.

On introduit une déformation des séries de Dirichlet d’une variable complexe $s$, sous la forme d’un opérateur pour chaque nombre complexe $s$, agissant sur les séries formelles sans terme constant en une variable $q$. On montre que les fractions de Bernoulli-Carlitz sont les images de certains polynômes en $q$ par les opérateurs associés à la fonction $\zeta$ de Riemann aux entiers négatifs.