We give a combinatorial interpretation for the positive moments of the values at the edge of the critical strip of the $L$-functions of modular forms of $GL\left(2\right)$ and $GL\left(3\right)$. We deduce some results about the asymptotics of these moments. We extend this interpretation to the moments twisted by the eigenvalues of Hecke operators.

La théorie des nombres premiers généralisés de Beurling fait intervenir $N\left(x\right)$, la fonction de décompte des entiers généralisés, $P\left(x\right)$, celle des nombres premiers généralisés, et $\zeta \left(s\right)$, la fonction dzeta adaptée. Les hypothèses sur $N\left(x\right)$ se traduisent en propriétés de $\zeta \left(s\right)$, qui entraînent ou non le “théorème des nombres premiers” (TNP) $P\left(x\right)\sim x/\log x$ ou “ l’inégalité de Tchebycheff” (IT) $P\left(x\right)=O(x/\log x)$. L’article est consacré au rôle de la fonction $it\zeta (1+it)$, en relation avec les algèbres ${\displaystyle A=ℱL^1\left(ℝ\right),A^{\infty }=\left\{f\underset{y\ge \left|x\right|}{sup}\left|\left(ℱf\right)\left(x\right)\right|\in L^1({ℝ}^{+},dy)\right\}}$ et $H^1=ℱL^2(ℝ,(1+y^2\left)dy\right)$. On montre que l’hypothèse $it\zeta (1+it)\exp (-2|t{|}^{\alpha })\in H^1$ entraîne (TNP) quand $\alpha \<2$ et...

A limit theorem in the space of continuous functions for the Dirichlet polynomial$$\sum _{m\le T}\frac{d_{{\kappa }_T}\left(m\right)}{m^{{\sigma }_T+it}}$$where $d_{{\kappa }_T}\left(m\right)$ denote the coefficients of the Dirichlet series expansion of the function ${\zeta }^{{\kappa }_T}\left(s\right)$ in the half-plane $\sigma \>1$${\kappa }_T=...$

A limit theorem in the sense of the weak convergence of probability measures in the space of meromorphic functions for the Estermann zeta-function is obtained.

In this paper two weighted functional limit theorems for the function introduced by K. Matsumoto are proved.