Stark’s conjectures connect special units in number fields with special values of $L$-functions attached to these fields. We consider the fundamental equality of Stark’s refined conjecture for the case of an abelian Galois group, and prove it when this group has exponent $2$. For biquadratic extensions and most others, we prove more, establishing the conjecture in full.

Étant donnée une extension galoisienne $E/\mathbf{Q}$ de groupe de Galois $G$ diédral, on montre que l’anneau $B$ des entiers de $E$ est un $\mathbf{Z}\left[G\right]$-module isomorphe à l’ordre formé des éléments de $\mathbf{Q}\left[G\right]$ qui transportent $B$ dans lui-même (ordre décrit explicitement suivant la ramification de l’extension $E/\mathbf{Q}$. On a rattaché cette étude à la recherche, pour chaque ordre $𝔇$ de $\mathbf{Z}$ dans $\mathbf{Q}\left[G\right]$ contenant $\mathbf{Z}\left[G\right]$, d’invariants caractérisant à un isomorphisme près les modules sur $𝔇$, et qui permettent notamment un calcul du groupe des classes projectives...

Soient $p_1,p_2,...,p_n$ des nombres premiers distincts $\not\equiv -1\left(mod4\right)$, $d:=p_1{p}_2\cdots p_n$ et $k_n=\mathbf{Q}(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2},...,\sqrt{p_n})$. On peut approcher le $2$-rang du groupe de classes des corps $k_n$ en étudiant celui du corps $k_m\left(\sqrt{d}\right)$ pour un entier $m\<n$. Dans cet article, on traite le cas où $m=2$ ou $3$. Comme application, on déduit que le rang du $2$-groupe de classes de $k_4$ est au moins égal à deux (on savait déjà grâce à un résultat de Fröhlich que le groupe de classes de $k_4$ est toujours d’ordre pair). On en déduit également la liste de tous les corps multiquadratiques $k_n$ ayant un $2$-groupe de classes...