In this paper, we deal with the study of quasi-homeomorphisms, the Goldman prime spectrum and the Jacobson prime spectrum of a commutative ring. We prove that, if $g:Y\to X$ is a quasi-homeomorphism, $Z$ a sober space and $f:Y\to Z$ a continuous map, then there exists a unique continuous map $F:X\to Z$ such that $F\circ g=f$. Let $X$ be a $T_0$-space, $q:X\to {}^{s}X$ the injection of $X$ onto its sobrification ${}^{s}X$. It is shown, here, that $q\left(\text{Gold}\left(X\right)\right)=\text{Gold}\left({}^{s}X\right)$, where $\text{Gold}\left(X\right)$ is the set of all locally closed points of $X$. Some applications are also indicated. The Jacobson prime spectrum...

Soit $K$ un corps commutatif. Chercher une série formelle $S(X,T)\in K\left[\right[X,T\left]\right]$ vérifiant $S(X+Y,T)/S(X,T)\in K\left[\right[Y,T\left]\right]$ conduit naturellement à étudier l’application $U\left(T\right)\to \left(U\right(T){)}^X$, $U\left(T\right)$ étant une unité de l’algèbre $K\left[\right[T\left]\right]$, et à ramener les solutions à la forme $S(X,T)=\sum _{n\ge 0}{H}_n\left(X\right)T^n$, $\left(H_n\right(X\left)\right)$ étant une suite de $K\left[X\right]$ vérifiant les “identités multinomiales” :$$\left(\mu \right)H_n(X_1+...+X_k)=\sum _{{\alpha }_1+...+{\alpha }_k=n}{H}_{{\alpha }_1}(X_1)...H_{{\alpha }_k}(X_k\left)\right(n,k\ge 0).$$Après mise à l’écart par des lemmes combinatoires du cas caract$\left(K\right)\>0$ (les solutions sont triviales), on caractérise de plusieurs manières les solutions. On peut les faire coïncider avec l’ensemble NW des suites de polynômes (ou séries génératrices...