We describe how the constructions of quantum homogeneous spaces using infinitesimal invariance and quantum coisotropic subgroups are related. As an example we recover the quantum 4-sphere of [2] through infinitesimal invariance with respect to ${}_q\left(SU\left(2\right)\right)$.

We review the formulation and proof of the Baum-Connes conjecture for the dual of the quantum group $S{U}_q\left(2\right)$ of Woronowicz. As an illustration of this result we determine the K-groups of quantum automorphism groups of simple matrix algebras.

Soient $K$ un corps global, $T$ un $K$-tore, $S$ un ensemble fini de places de $K$. On note $K_v$ le complété de $K$ en $v\in S$. Soit $T\left(K\right)$, resp. $T\left(K_v\right)$, le groupe des points $K$-rationnels, resp. $K_v$-rationnels, de $T$. Notons $T\left(O_v\right)\subset T\left(K_v\right)$ le sous-groupe compact maximal. Nous montrons que pour $T$ et $S$ convenables l’application $T\left(K\right)\to {\prod }_{v\in S}T\left(K_v\right)/T\left(O_v\right)$ induite par l’application diagonale n’est pas surjective. Cela implique que pour $v$ convenable le groupe $T\left(O_v\right)$ ne couvre pas forcément toutes les classes de $R$-équivalence de $T\left(K_v\right)$. Lorsque $K$ est un corps de fonctions d’une variable...

Given a tuple $({𝒳}_1,...,{𝒳}_k)$ of irreducible characters of $G{L}_n\left(F_q\right)$ we define a star-shaped quiver $\Gamma$ together with a dimension vector $v$. Assume that $({𝒳}_1,...,{𝒳}_k)$ is generic. Our first result is a formula which expresses the multiplicity of the trivial character in the tensor product ${𝒳}_1\otimes \cdots \otimes {𝒳}_k$ as the trace of the action of some Weyl group on the intersection cohomology of some (non-affine) quiver varieties associated to $(\Gamma ,v)$. The existence of such a quiver variety is subject to some condition. Assuming that this condition is satisfied, we...

The cohomology of Nakajima’s varieties is known to carry a natural Weyl group action. Here this fact is established using the method of intersection cohomology, in analogy with the definition of Springer’s representations.

Soit $G$ l’ensemble des points d’un groupe algébrique semi-simple connexe de rang relatif un sur un corps local ultramétrique. Nous décrivons tous les sous-groupes discrets de type fini sans torsion de $G\times G$ qui agissent proprement et cocompactement sur $G$ par multiplication à gauche et à droite. Nous montrons qu’après une petite déformation dans $G\times G$ un tel sous-groupe agit encore librement, proprement discontinûment et cocompactement sur $G$.