For a germ (X,0) of normal complex space of dimension n + 1 with an isolated singularity at 0 and a germ f: (X,0) → (ℂ,0) of holomorphic function with df(x) ≤ 0 for x ≤ 0, the fibre-integrals     $s\mapsto {\int }_{f=s}\varrho {\omega }^{\text{'}}\bigwedge \overline{{\omega }^{\text{'}\text{'}}},\varrho \in C_c^{\infty }\left(X\right),{\omega }^{\text{'}},{\omega }^{\text{'}\text{'}}\in {\Omega }_X^n$, are $C^{\infty }$ on ℂ* and have an asymptotic expansion at 0. Even when f is singular, it may happen that all these fibre-integrals are $C^{\infty }$. We study such maps and build a family of examples where also fibre-integrals for ${\omega }^{\text{'}},{\omega }^{\text{'}\text{'}}\in {⍹}_X$, the Grothendieck sheaf, are $C^{\infty }$.

On étudie les singularités et l’intégrabilité d’une classe de fonctions plurisousharmoniques sur une variété analytique $X$ de dimension $n\ge 1$. Pour étudier ce problème, nous commençons par contrôler les nombres de Lelong de certains types de fonctions plurisousharmoniques $\varphi$. Ensuite, nous étudions les singularités du transformé strict du courant $d{d}^c\varphi$ par un éclatement de $X$ au dessus d’un point. Nous répondons ainsi positivement au problème d’intégrabilité locale de ${\mathrm{e}}^{-\varphi }$, lorsque $\dim X=2$, et lorsque $\varphi$ est une fonction plurisousharmonique...

This paper shows how some techniques used for the meromorphic functions of one variable can be used for the explicit construction of a solution to the Mittag-Leffler problem for Dolbeault classes of tipe $(0,n-1)$ with singularities in a discrete set of ${𝐂}^{𝐧}$ and $T^n$ (a $n$-dimensional complex torus). A generalisation is given for the Weierstrass $\zeta$ and the Legendre relations.

After recalling the definitions of the Abel-Radon transformation of currents and of locally residual currents, we show that the Abel-Radon transform $ℛ\left(\alpha \right)$ of a locally residual current $\alpha$ remains locally residual. Then a theorem of P. Griffiths, G. Henkin and M. Passare (cf. [7], [9] and [10]) can be formulated as follows  :Let $U$ be a domain of the grassmannian variety $G(p,N)$ of complex $p$-planes in ${\P }^N$, $U^{*}:={\cup }_{t\in U}{H}_t$ be the corresponding linearly $p$-concave domain of ${\P }^N$, and $\alpha$ be a locally residual current of bidegree $(N,p)$....

Grâce à une formule de Jensen en plusieurs variables, on définit les nombres de Lelong généralisés d’un courant positif fermé relativement à un poids logarithmiquement plurisousharmonique. Les propriétés d’invariance de ces nombres par rapport aux morphismes analytiques permettent d’encadrer précisément les nombres de Lelong d’une image directe en faisant intervenir certaines multiplicités du morphisme. Une théorie analogue peut être développée pour l’étude de la croissance à l’infini d’un courant....